Операции над нечёткими множествами

В лекции рассмотрим перечень основных и некоторых альтернативных операций над нечёткими множествами.

Прежде всего отметим, что для указанных операций над нечёткими множествами, следует обратить внимание, что такие нечёткие множества должны быть заданы на одном и том же универсальном множестве (обозначено через I).

Определения равенства и подмножеств нечётких множеств

Далее рассмотрим 4 бинарные и одну унарную операцию над нечёткими множествами. В дальнейшем эти операции будем называть основными.

Объединение двух нечётких множеств

Пересечение двух нечётких множеств

Разность двух нечётких множеств

Симметрическая разность двух нечётких множеств

Дополнение к нечёткому множеству (унарная операция)

Вышеуказанные определения будут соответствовать "основным" операциям над нечёткими множествами.

Далее сформулируем определения некоторых альтернативных операций. Альтернативные способы задания унарной операции "Дополнение" можно посмотреть по ссылке: https://dzen.ru/video/watch/62b2b6b30e49941961145e40

Алгебраическое объединение двух нечётких множеств

Алгебраическое пересечение двух нечётких множеств

Граничное объединение двух нечётких множеств

Граничное пересечение двух нечётких множеств

Другие альтернативные операции для объединения или пересечения двух нечётких множеств можно посмотреть по ссылке: https://dzen.ru/video/watch/62d52e3e15d67a522fedca67

Операция лямбда-суммы нечётких множеств

Также имеются некоторые интересные унарные операции над нечёткими множествами.

Умножение на число нечёткого множества

Возведение в степень нечёткого множества (операция концентрирования и растяжения)

Указанные унарные операции используются в качестве модификаторов для формирования новых нечётких множеств, об этом можно познакомиться в лекции: https://dzen.ru/media/id/603a418d1684900aa2499416/62a214fed6067473fd30f536.

Справедлива следующая цепочка вложений для основных и альтернативных операций объединения и пересечения:

В качестве Упражнения 1 предлагается для пары нечётких множеств из варианта определить следующие операции над нечёткими множествами:

1) результат min-пересечения нечётких множеств;

2) результат max-объединения нечётких множеств;

3) результат разности нечётких множеств;

4) результат симметрической разности нечётких множеств;

5) результаты дополнений обоих нечётких множеств;

6) результат алгебраического пересечения нечётких множеств;

7) результат алгебраического объединения нечётких множеств;

8) результат граничного пересечения нечётких множеств;

9) результат граничного объединения нечётких множеств;

10) результат операции концентрирования обоих нечётких множеств;

11) результат операции растяжения обоих нечётких множеств;

12) результат операции умножения на число для обоих нечётких множеств.

Варианты нечётких множеств:

Варианты для самостоятельного решения от 1 до 10-ого

Варианты для самостоятельного решения от 11 до 20-ый

Варианты для самостоятельного решения от 21 до 30-ый

В качестве Упражнения 2 предлагается выбрать пару нечётких множеств из представленных по ссылке https://dzen.ru/media/id/603a418d1684900aa2499416/632846838bfc8714a7fc8a8a и определить для них унарные и бинарные операции, представленные в текущей лекции.