Решение задачи с помощью системы уравнений
Уважаемые мамы и папы, дедушки и бабушки!
Предлагаю вспомнить решение задач с помощью системы уравнений на примере задачи о деревьях и скворцах из «Арифметики» Л. Магницкого.
Условие:
Летели скворцы и встретились им деревья. Когда сели по одному на дерево, то одному скворцу не хватило дерева, а когда на каждое дерево сели по два скворца, то одно дерево осталось не занято. Сколько было скворцов и сколько было деревьев?
Решение:
Для решения этой задачи предлагаю количество скворцов взять за X, а количество деревьев – за Y.
Из условия задачи понятно, что скворцов на одного больше, чем деревьев. Следовательно:
X = Y + 1
А вот если количество скворцов поделить на 2, то уже деревьев станет на одно больше.
Y= 0,5X + 1 ( X : 2 – это то же самое, что 0,5X)
Таким образом, мы составили систему из двух уравнений:
Зная, что Y = 0,5 X + 1, подставляем 0,5 X + 1 вместо Y в первое уравнение:
X = ( 0,5X + 1 ) + 1
Получили уравнение с одним неизвестным.
Сперва раскрываем скобки, для этого мы используем правила раскрытия скобок из §39 «Математики» А. Г. Мерзляк (6 класс):
- Если перед скобками стоит знак «–», то при раскрытии скобок надо опустить этот знак, а все знаки, стоящие перед слагаемыми внутри скобок, изменить на противоположные.
- Если перед скобками стоит знак «+», то при раскрытии скобок надо опустить этот знак, а все знаки, стоящие перед слагаемыми внутри скобок, оставить без изменений.
Перед скобками у нас не стоит никакого знака – это надо считать, как «+», следовательно:
X = 0,5X + 1 + 1
X = 0,5X + 2
Теперь нам поможет правило из §41 «Математики» А. Г. Мерзляк (6 класс):
Если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.
Действительно, ведь если, например, в уравнении x + 3 = 8 мы цифру 3 перенесём в правую сторону с противоположным знаком, то получим уравнение x = 8 – 3. То есть корень уравнения равен 5 – это легко проверить, подставив вместо переменной x цифру 5:
5 + 3 = 8.
В нашем же уравнении перенесём слагаемое «0,5X» из правой части уравнения в левую, изменив его на «– 0,5X» получаем:
X – 0,5X = 2
0,5X = 2
X = 2 : 0,5
X = 4 скворца
4 – 1 = 3 дерева
Ответ: было 4 скворца и 3 дерева.