Александр Константинович родился 8 сентября 1920 года в Москве. Окончил Театральное училище им. Б.В. Щукина в 1942 году. Курс Анны Алексеевны Орочко. В военные годы состоял во фронтовой бригаде (под руководством Орочко), прикрепленной к Первому Украинскому фронту, и дошел до Берлина. В это время Граве в качестве художника оформил два спектакля «Не в свои сани не садись» и «Где-то в Москве». Фронтовая бригада носила статус филиала Театра им. Вахтангова. В театре Вахтангова Александр Константинович служил более 65 лет. Сыграл более 50 ролей и воплотил на сцене более 150 образов. К одному из спектаклей написал тексты песен.
Дебют в кино состоялся в 1938 году в картине режиссера Александра Медведкина «Новая Москва», роль студента, которая не указана в титрах.
Фильмография актера насчитывает более 30 картин, 3 телеспектакля, 24 озвучивания мультфильмов.
Картины с участием Граве, поставленные на Киностудии им. Горького: «Юность командиров» (1939), «Они были первыми» (1956), «Тихий Дон» (1