-Мы знаем, что она не имеет решения. Мы хотим знать, как ее решать! ("Понедельник начинается в субботу", А. и Б. Стругацкие)
Существует мнение, что в математике царствуют точные решения, а если точного решения нет — то и всё на том. Хотя часто есть приближённое решение, пригодное для практики, которое и используется прямо под носом у математиков. Прямо классика "как наши надурили городских".
Но это совершенно неверное представление! Да, математика называется точной наукой, и неспроста. Но это не означает, что она не умеет работать с приближениями.
Напротив! Да, Пифагор, говорят, огорчился, когда выяснил что диагональ квадрата не выразить точно через сторону этого квадрата. Но он был давно, а с тех пор уже сотни лет нас этот вопрос нимало не беспокоит. Диагональ квадрата выражается через число "корень из двух". И мы можем записать этот корень приближенно с любой степенью точности.
Про числа пи и е даже начинать не буду. Их никто не видел целиком вообще. И они, в отличие от корня из двух, трансцендентные, то есть даже корнями многочлена не являются. То есть не выражаются через корни, дроби, арифметические действия и возведение в степень.
Всё исчисление бесконечно-малых, среди своих по каким-то не вполне понятным причинам именуемое "анализом", это по сути про приближения. Иногда анализ даёт точные решения, а "в принципе" и часто — за это мы его и ценим. Но по сути-то речь изначально идёт о последовательности приближений, а предел вполне может быть вообще недостижим; пи и е как примеры.
Численные методы — это всё про приближения. Точные решения получаются редко, в основном всё решается численно. Приближённо.
Если рассмотреть задачу типа теплопроводности с беспараметрическим граничным условием вроде "поток пропорционален температуре", то начальное распределение должно быть согласовано с граничными условиями. А если нет, то непрерывного решения не будет. Проще говоря, если у вас на границе поток (производная решения) пропорционален самому решению, то константа не годится: у неё производная нуль, а сама она нулю не равна. Но при этом начать с постоянного распределения температуры — чем плохо-то?
Но никто по этому поводу в депрессию не впадает. Непрерывного не будет, а обобщенное/слабое — запросто, к тому же достаточно сколь угодно мало изменить начальное распределение, чтобы решение появилось.
Дельта-функция Дирака, конечно, была дикостью — задача решения не имела — но подвели обоснование, и вот обобщенные функции. Та же история, что с полутора землекопами: задача решения в целых числах не имеет, но в ряде случаев годится рациональное. Причём с дельтой работает та же идеология приближений: точной дельты как функции не существует, но приблизить ее можно.
Бывают, конечно, сюрпризы, когда без учета физического смысла задача ведет себя странно. Возьмем уравнение Лапласа в шаре, а в качестве граничного условия зададим распределение нормальной производной на границе шара. Решение будет существовать только в очень специальном случае: интеграл от нормальной производной по сфере равен нулю. А если не равен, то и решения нет.
Казалось бы, что за ерунда? Но уравнение Лапласа описывает стационарное распределение тепла внутри шара: когда температура не меняется во времени. Тепло течет, но температура поддерживается в каждой точке постоянная. А нормальная производная есть поток тепла через границу. Естественно, если полный поток тепла отличен от нуля, то температура так или иначе меняться будет.
В этом случае точного решения нет, но и приближенного нет: задача смысла не имеет! Надо ставить задачу теплопроводности или менять условие.
То есть, есть ситуации, когда решения нет в принципе. Например, нельзя ввести универсальную одновременность или абсолютное время. Нельзя точно измерить положение частицы, даже с любой наперед заданной точностью нельзя. Впрочем, это уже физика.
В математике тоже такое сплошь и рядом. Даже в области, казалось бы, точной. А уж в менее формализованных, где речь про нечисловые понятия справедливости, честности, правильности, морали и этики...
Теорема Эрроу, например (по ссылке целая подборка парадоксов). Часто нужно из отсортированных списков составить результирующий список. Скажем, голосующие расположили возможные меры по убыванию важности, и нужно выделить первоочередное действие, второе, и далее.
И есть очевидные требования к процедуре. Она не должна пасовать ни на каком наборе списков, иначе она ненадежна; она не может сказать: "не, с такими входными данными я не знаю, что делать".
Она должна в принципе быть способной выдать любой список: не должно быть запретов типа "*** не может быть первым никогда!"
Если у всех одна альтернатива идет выше другой, то и в результате она должна идти выше. То есть если все поставили "разврат" выше "воздержания", то и в итоговом списке они должны идти в таком порядке.
Если все данную альтернативу повысят или понизят, то и в результате она должна подняться/опуститься. Скажем, один раз проголосовали и первым номером пошло воздержание, но все разочаровались и все засунули его в конец; то и в результате второго голосования оно должно опуститься вниз. И не просто вниз, а в самый низ: см. предыдущее правило.
Наконец, не должно быть никого, кто мог бы навязать свой вариант. В том числе и через жребий или как-то иначе.
Так вот если выборщиков больше одного и вариантов больше двух, то такой процедуры не существует. Нет решения, ни точного, ни приблизительного. Либо надо "все подумали, но я решил", либо кидать жребий, либо отказываться от естественных требований к процедуре. А если вы откажетесь от требований, то процедура либо будет неполной, либо несправедливой. Например, все поставят воздержание на первое место, а оно в итоге окажется в конце списка, и всё по закону.
Вы понимаете? Нет справедливого способа учесть все мнения во всех случаях.
И вообще невозможно формализовать "справедливость". Нельзя объективно оценить что-то в общем случае (поэтому и существует биржа), нельзя справедливо разделить ресурс (та же теорема Эрроу и пляски вокруг, но не только), нельзя сделать всех довольными: даже добровольное согласие не означает, что согласившийся останется доволен. Если требовать, чтоб довольны были все, то одного горлопана придется ублажать всем, а если позволить одного подавить, то полезут другие сюрпризы. И вообще понятие "справедливо" не получится корректно формализовать.
Никакой показатель оценки не является хорошим, если он начинает использоваться для объективной оценки активных субъектов. С этим каждый сталкивался, наверное. Никакая система законов не позволит автоматически принять решение во всех случаях. Даже бесконечная (но конструктивно перечислимая), спасибо Гёделю. Честно голосующие по своим убеждениям депутаты парламента могут принять любое наперед заданное решение. А действующие сугубо в своих интересах субъекты принимают глупые решения и вполне разумный компромисс для них недостижим.
Я обо всем этом писал и ещё напишу. Но эти задачи не имеют решения, ни точного, ни приближенного, и это не математический вопрос. Здесь дело даже не в конкретных моделях (о которых ещё спорить и спорить) и не в игрушечных примерах, а в самом философском подходе. Примеры показывают, что абстрактные понятия справедливости, честного дележа, объективной оценки — с необходимостью неполны. В частных случаях это вполне корректно, мы каждый день употребляем эти слова, и не зря, но общего, на все случаи жизни решения — не существует.
И к этому надо привыкнуть.
