Однажды знаменитый архитектор Заха Хадид пришла к инженерам и сказала:
– У своего очередного здания я хочу сделать не плоскую крышу, а крышу сложной, органической формы, ведь природа всегда искривляет поверхности, не умея вымерять их по линейке. Так что сделайте мне такие строительные элементы, из механического соединения которых могла бы собраться такая вот неплоская, искривлённая крыша.
Инженеры призадумались. Наконец один из них сказал:
– Искривлённая поверхность – это выход за пределы евклидовой геометрии, формулирующей свои аксиомы исключительно для плоскости. Только в евклидовом мире стороны квадрата равны, а его углы всегда прямы. Именно в евклидовом мире через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной, а сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам. А в неевклидовых мирах – на псевдосфере Лобачевского-Бойяи или эллипсоиде Римана - всё иначе. Но и в этих геометриях возможны евклидовы плоскостные фигуры – хотя и в качестве частных случаев.
– И что с того? – спросили другие инженеры. – Как это соотносится с запросом Захи Хадид?
– Дело в том, что мы можем представить архитектору такой структурный элемент будущей крыши, который являет собой тот самый частный евклидов случай, на котором искривление практически не видно. Так же, как на уровне бесконечно малой величины не видно криволинейности сначала дифференцируемой, а затем интегрируемой криволинейной фигуры. Чем больше рассматриваемый нами фрагмент такой фигуры стремится к логически мыслимой бесконечно малой величине, тем больше мы можем пренебречь криволинейностью измеряемой фигуры. Аналогично этому чем больше искривляется крыша, тем более стремится к бесконечно малой величине структурный элемент этой крыши, элемент, который требует от нас Заха Хадид. Поэтому мы изготовим маленькую, предельно маленькую стекляшку, на которой искривление плоскости будущей крыши не явит себя, а потом соберём из этих стекляшек искривлённую плоскость крыши.
Так они и порешили. Но оказалось, что из логически наименьших элементов искривлённой поверхности, на которых искривление данной поверхности не проявляется, можно составить только плоскую поверхность. Ибо где, в каком моменте из плоских элементов вдруг проявляется искривлённая поверхность? Где и как в интегрировании плоских евклидовых элементов проявляется неевклидово искривление? Каков он, этот фактор искривления?
И когда на следующий день Заха Хадид снова пришла к инженерам, они выкатили ей апорию Смолия: искривлённую поверхность невозможно составить из плоских предельно малых элементов, ведь интегральная сумма евклидовых плоскостей должна родить только плоскость, но не искривлённую неевклидову поверхность типа псевдосферы или эллипсоида.
Заха Хадид покрутила пальцем у виска и пошла искать других инженеров. Тех, кто не философствует в ущерб делу.