Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Софизмы - это утверждения, которые внешне могут казаться абсурдными, однако логическая цепочка рассуждений, которая ведет к ним, на первый взгляд может быть безупречно выверенной. Например, про один из самых известных - софизме кучи, я когда-то уже писал.
Этот софизм хоть и использовал математические конструкции, но разгадку имел истинно терминологическую. Сегодня же мы рассмотрим пример полностью математического парадоксального суждения.
Итак, пусть требуется доказать, что все лошади одного цвета. Для этого мы будем использовать классический метод математической индукции.
Базис индукции. Берем одну лошадь, она, очевидно, одного цвета.
Индукционный переход. Предположим, что N лошадей имеют одинаковый цвет.
Выведем из этого тот факт, что любые N+1 также имеют одинаковый цвет. Рассмотрим теперь N+1 лошадей:
Здесь я умышленно пронумеровал лошадей, потому что теперь мы возьмем и выкинем, например, третью лошадь:
Общее количество лошадей - теперь N, но по нашему предположению N лошадей имеют одинаковый цвет. А теперь ключевой момент: мы можем делать это с каждой из лошадей и всё равно получим утверждение, которое стоит в основании индукционного перехода.
Значит, выбрасывая последовательно всех лошадей (их, очевидно, конечное число), мы докажем, что N+1 лошадей имеют один и тот же цвет, тем самым завершая индукционный переход!
Объяснение
Итак, соль софизма заключается в том, что ошибка допущена уже в базисе индукции! Пусть N = 1, тогда совершим переход к N=2, добавив еще одну лошадь, и проделаем процедуру "выкидывания":
Мы получим набор непересекающихся множеств (а в случае N+1 в любых двух наборах всегда было N "общих" лошадей), а значит из утверждения "одна лошадь такого-то цвета" нельзя вывести, что "две лошади такого же цвета". Спасибо за внимание!
- Кстати, метод математической индукции основан на математической теории порядка, о которой я уже начал писать!