Применение математики на практике. Покер. Удача или расчет?

Photo by Michał Parzuchowski on Unsplash

Стало сложнее объяснять теорию вероятности. В задачах на карты дети спрашивают, что такое масти, откуда взялись черви и кого насаживают на пики.

Согласно российскому законодательству в школе азартные игры запрещены. Хотя определение такое, что под него попадают все игры.

Азартная игра — это основанное на риске соглашение о выигрыше, заключенное двумя или несколькими участниками такого соглашения между собой либо с организатором азартной игры.

Но карточные игры развивают стратегическое мышление. А наибольшей эффективностью обладает покер. Обладатель трех браслетов Мировой серии покера Дэвид Склански написал 14 обучающих книг. В том числе “Математика покера от профессионала”, в которой показывает, что математика играет ведущую роль в выборе стратегии.

В статье речь пойдет о популярной разновидности покера - техасский холдем.

Photo by Clifford Photography on Unsplash

В игре 4 этапа: префлоп, флоп, тёрн, ривер. На префлопе каждому игроку раздают по 2 карты. На флопе на стол выкладывают 3 общие для всех игроков карты. На тёрне и ривере - по одной общей карте. Соперники оценивают шансы и принимают решения о дальнейших действиях на каждом этапе.

Пришли хорошие карты! А вдруг у соперника лучше?

Предположим игроку в руку пришли две девятки. Каковы шансы, что соперник получил более сильную пару?

Посчитаем количество комбинаций из двух карт, которые можно составить из 50 оставшихся в колоде. Дальше вычислим сколько из них представляют пару более сильных карт. И находим вероятность.

Находим число сочетаний из 50 карт по две. Это количество различных комбинаций по две карты. Дальше находим число сочетаний из 4 карт по две. Все возможные пары десяток. Так как в колоде пять достоинств больше 9, умножаем 6 на 5. Получаем общее количество всех возможных пар. Последний шаг, находим вероятность. Как отношение числа благоприятных исходов (число пар, которые бьют пару девяток) к общему числу исходов.

Шанс, что у соперника более сильная рука 2,45%. Делайте Ваши ставки, господа!

Повышаем уверенность в победе

В дальнейшем позиция может улучшиться. Например, до сета, если на флопе придёт девятка.

Будем пользоваться для расчетов формулой Байеса. Потому что шансы зависят от того, какие карты в руке у соперника.

На раздаче ему могла прийти одна девятка, две или ни одной. Находим вероятности каждого исхода. Дальше считаем с какой вероятности девятка придет на флопе для каждого возможного случая.

Сначала считаем с какой вероятностью девятки могли прийти на раздаче. В колоде осталось 2 девятки. Вместе их можно вынуть единственным образом. Каждая из них с любой другой картой (48 штук) составляет число возможных вариантов, в которых только одна девятка. Оставшиеся комбинации из двух карт не содержат девяток. После этого считаем число комбинаций из 3 карт, которые можно составить из оставшихся карт в колоде. Это число сочетаний из 48 по 3 карты. Чтобы найти количество комбинаций с одной девяткой, считаем сколько комбинаций из двух карт можно составить. Третья карта будет девяткой. Если в колоде осталось две девятки, то каждая из них может составлять комбинацию с любыми двумя оставшимися картами. Поэтому 2 умножаем на число сочетаний из 46 по 2. В последней строке считаем вероятность, умножая вероятность каждого исхода на первом шаге, на вероятность появления девятки на флопе. Если у противника в руке две девятки, то вероятность, что одна из них придёт на флопе равна 0.

Получаем неплохой шанс в 11,5%.

Конечно, никто не приходит играть с блокнотом и карандашом, чтобы вычислять вероятности. Все возможные случаи просчитаны и занесены в таблицы. Профессиональные игроки просто запоминают их.

Роль удачи

А главное о чем стоит помнить - маловероятные вещи случаются. Высокий шанс на победу не означает, что она наступит.

В данный момент ни у одного из игроков нет комбинации. Но шансы на победу у игрока с J-10 выше. Он выигрывает, если из двух оставшихся карт хотя одна будет девяткой, тузом, валетом или десяткой. Также победными будут другие комбинации в которых нет восьмерок и семерок. Таким образом получаем шанс на победу 82%. Угадайте, что произошло дальше?

Когда теория вероятности не на твоей стороне.