Приветствую Вас!
Данная информация, думаю, будет полезна для ребят разных возрастов, но особенно актуальна для 9-х, 11-х классов, тех, кому сдавать ОГЭ и ЕГЭ. И касается это модульных графиков. Модульная история, как практически и все "мутные" математические темы, пропускаются преподами в школе, поэтому мало кто в них понимает.
Как всегда, всё донесу по простому. Допустим, требуется построить график:
y=|1-2x| + |2x+3|.
Для начала нужно определить нулевые точки подмодульных выражений. Проще говоря, выписать то, что стоит под знаком модуля, приравнять к нулю и решить уравнения:
- 1-2х=0 2х+3=0
- х=0,5 х=-1,5
Далее вычерчиваем числовую прямую и выставляем полученные значения в порядке возрастания слева направо:
Данные значения разбивают числовую прямую на три промежутка:
- х≤-1,5;
- -1,5≤х≤0,5;
- х≥0,5.
Нас интересует каждый по очереди слева направо. Для того, чтобы раскрыть модули и получить обычные линейные графики. Рассмотрим первый интервал х≤1,5.
Чтобы понять как раскроются оба модуля, нужно взять любое число из данного промежутка и посмотреть каким будет подмодульное выражение: положительное или отрицательное.
Возьмем, к примеру, число -100. Подставим в 1-2х и 2х+3 по очереди:
- 1-2(-100)>0,
- 2(-100)+3<0.
Что это нам дает? А вот что:
Если в подмодульном выражении получилось положительное значение, то ставим знак "+" перед скобками и модульные скобки превращаем в круглые. Если отрицательное - ставим знак "-", и также меняем скобки.
Распишу:
Строго говоря, так, конечно писать не нужно, это просто для понимания. Видно, что если в подмодульном выражении получилось число <0, то знак поменяется на противоположный. Плюс на минус, а минус на плюс.
По итогу, мы получили обычный линейный график у=-4х-2, для построения которого достаточно построить табличку для двух точек. Одну из которых нужно взять пограничную, т.е. -1,5, а первую меньше, чем -1,5, ведь мы работаем в промежутке х≤-1,5:
Здесь пока всё. Чертить будем в конце. Теперь рассмотрим второй промежуток: -1,5≤х≤0,5. Число ноль вполне ему удовлетворяет. Опять подставляем по очереди в подмодульные выражения, для определения знака раскрытия:
- 1-2*0>0,
- 2*0+3>0.
Оба выражения положительны, следовательно знаки, стоящие перед ними не поменяются. Раскрываем модули y=|1-2x|+|2x+3|=(1-2x)+(2x+3)=1-2x+2x+3=4. Т.е., мы получили прямую у=4, а это прямая параллельная оси икс, и проходящая через координату 4 по игреку. Соответственно, таблица здесь не нужна.
Следуя всё той же логике, переходим к последнему промежутку х≥0,5. Возьмем для подстановки 100. Беру всегда большие значения, т.к. сразу видно знак всего выражения и ничего высчитывать не приходится. Итак:
- 1-2*100<0,
- 2*100+3>0.
Раскрываем: у=|1-2x|+|2x+3|=-(1-2x)+(2x+3)=-1+2x+2x+3=4x+2.
Здесь также потребуется табличка с двумя значениями, одно из которых пограничное, т.е. 0,5, а второе больше 0,5. К примеру, 1:
Ну вот, собственно, и всё, что касается преобразований. Теперь нужно вычертить то, что получилось. Здесь есть один нюанс, о котором не стоит забывать:
- Вы получили три графика, но каждый из них вычерчивается ТОЛЬКО на заданном промежутке и за границы его не выходит. Поэтому, пограничные значения, а именно -1,5 и 0,5 сразу выставим на оси икс и проведем через них вертикальный пунктир, который нам будет сигнализировать, что дальше него чертить НЕЛЬЗЯ!
Поглядим какая картинка у нас получилась:
Вот и все дела. Подведем итог:
- Независимо от количества модулей, выписываем и приравниваем к нулю КАЖДОЕ подмодульное выражение, для определения нулевых точек.
- На координатной прямой отмечаем все нулевые точки, в порядке возрастания, слева направо. Данные точки разбивают прямую на промежутки.
- Далее, рассматриваем каждый промежуток по отдельности, начиная с самого левого. Берем число, принадлежащее данному промежутку и подставляем в каждое подмодульное выражение для определения его знака.
- Если при подстановке подмодульное выражение получается >0, то знак, стоящий перед модулем останется прежний, если <0 - поменяется на противоположный.
- Расставим правильно знаки, преобразуем модульные скобки в круглые, раскроем их, приведем подобные и получим линейный график.
- Составим таблицу для двух значений, одно из которых пограничное, т.е. нулевая точка. Это важно, т.к. график может получиться не сплошной ломаной, а быть разрывным в этой точке.
- Потом рассмотрим следующий и следующий промежуток, смотря сколько модулей вам дано изначально.
- Ну и построение, которое начинается с пограничных пунктиров, ведь именно они не дают дрогнуть вашей руке и выйти за их пределы, делая чертеж.
Всё. Обожаю математику за ее простоту. Вам желаю удачи. Будьте внимательны. И,
Благодарю за внимание..