Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Русский математик Андрей Андреевич Марков без сомнения известен всем любителям математики, как создатель т.н. "цепей Маркова" - последовательности случайных событий, где вероятность наступления каждого события зависит только от состояния, достигнутого в предыдущем событии.
Однако сегодня мы поговорим о его менее известном открытии, связанном с исследованием решений следующего диофантова уравнения:
Чем же примечательно это уравнение, что даже получило собственное имя?
Например, если заменить "3" на 2 или любое большее число, уравнение вообще не будет иметь натуральных решений:
Однако решений уравнения Маркова - бесконечное количество, и все они получаются по очень простой формуле. В её основе лежит первое приходящее на ум тривиальное решение:
Марков показал, что все положительные решения уравнения порождаются именно из этой тройки следующим образом:
Получили три похожих друг на друга решений. Теперь можем по аналогии посчитать следующие решения, используя одну из полученных троек, как порождающую:
Если упорядочить все p, при которых у этого уравнения имеются натуральные решения, получим числа Маркова:
Удивительно, но эти числа находятся в прямой зависимости от чисел, возникающих в теории приближения иррациональных чисел рациональными дробями.
Это утверждение означает, что всякое иррациональное число α можно приблизить рациональной дробью p/q с требуемой точностью, которая зависит только от знаменателя q:
Например, вычисления выше говорят нам о том, что при фиксированном знаменателе q, наилучшее приближение числа π - это дробь 31/10. А что будет если взять другие значения q? Оказывается, прямой зависимости нет:
Т.е. наметившееся уменьшение погрешности в дребезги разбивается, например, на q=125, где наилучшее приближение хуже, чем при меньших значениях знаменателя. Напрашивается вывод, что не все q подходят для того, что наилучшим образом приближать иррациональные числа, да и вообще в правой части может быть не такое простое выражение.
Немецкий математик Адольф Гурвиц показал, что некоторые иррациональные числа (на самом деле их бесконечное количество) можно приближать точнее и точнее, если использовать в качестве дроби справа следующие выражения:
В 1921 году математик Оскар Перрон нашел ключ, который наконец связал числа Маркова с коэффициентами наилучшего приближения иррациональных чисел:
Как видите в мире чисел, как и в мире людей присутствуют просто замечательные, скрытые от невооруженного глаза, зависимости. Этим и прекрасна математика! Спасибо за внимание!