Китай за свою историю имел множество названий: империя Цинь, империя Тан, империя Сун и т.д. Можно предположить, что названия империй и династий выбирались по фамилии правящего дома, однако это не так.
Выбор названия для страны в разное время руководствовался разной логикой. До эпохи Юань (1271-1368 гг.) императоры нередко называли государство в честь той местности, на которой до занятия престола добились больших успехов. Например, по такой логике были выбраны названия для государств Цинь (秦, 221 до н. э. - 206 до н. э.), Вэй (魏, 220-266 гг.), Сун (宋, 960-1279 гг.).
Легенда гласит, что Лю Бан, первый император династии Хань (汉, 206 до н. э. - 220 н. э.), выбрал для государства такое название из древнейшего сборника песен и стихотворений «Ши цзин», где были слова: «на небе есть Хань, что сияет подобно зеркалу» (维天有汉，鉴亦有光), под словом «Хань» в тех строчках подразумевались звёзды и Млечный путь.
По одной из легенд монгольскую империю называли Юань 元 (1271-1368 гг.), поскольку это слово в «Книге перемен» (易经, И цзин) использовалось в значении «сильный», «главенствующий».
Интересно, как появилось название для последней императорской династии Цин (1644-1912 гг.).
Племена кочевников-чжурчжэней в 1115 г. основали государство Цзинь (金, 1115-1234 гг.), что значит «Золотое». Название противопоставлялось врагам чжурчжэней – киданям, которые жили в государстве Ляо (辽, 907-1125 гг.) – Железном. Основатель Цзинь (Агуда, 1068-1123 гг.) говорил, что «железо ржавеет и крошится, а золото вечно». Только вот «золото» вечным не оказалось, и государство Цзинь в 1234 г. уничтожили монголы. В 1616 г. его попытался восстановить чжурчжэньский лидер Нурхаци и создал династию Поздняя Цзинь (1616-1636 г.). Сын Нурхаци – Абахай – хотел быть основателем новой династии, поэтому переименовал Цзинь в Цин (清), что значит «Чистота» (Чистое царство), а жителей Цин назвал маньчжурами. Потом маньчжуры напали на Китай, то есть на империю Мин (明, Светлую), покорили её, и до 1912 г. Китай назывался Империей Цин.
Почему империя Мин (1368-1644 г.) называлась Светлой? Династия Мин пришла к власти после восстания против монгольской империи Юань. Вдохновителем восстания было буддийское общество «Белого лотоса», оно говорило, что «тьма вот-вот отступит и прольётся свет» (黑暗即奖过去，光明奖要到来). Тьма ассоциировалась с монголами, а свет – с отважными людьми, которые прогонят тьму. Основатель империи Мин, Чжу Юаньчжан (1328-1398 гг.) принадлежал к секте «Белого лотоса», поэтому после победы над монголами назвал государство «Светлым».
Надеюсь, вы нашли эту статью познавательной. Подробнее о каждой династии можно почитать в учебном пособии "История Китая" под редакцией. А. В. Меликсетова (есть в интернете в открытом доступе).
Подробнее о выборе названий для династий:
https://baijiahao.baidu.com/s?id=1659784545614862709&wfr=spider&for=pc
https://baijiahao.baidu.com/s?id=1719498625005800356&wfr=spider&for=pc