Всем привет
Сегодня мы с вами положим конец первому блоку параметром и одним выстрелом убьем сразу несколько зайцев в виде девяти параметрических уравнений
Задание 14
Для начала перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение в чистом виде. После можем записать дискриминант и сразу же наложим на него условия того, что он должен быть положительным
Теперь давайте поговорим про корни уравнения. Оно составлено относительно sin, который находится в пределах от -1 до 1. Для того, чтобы наложить это ограничение, запишем оба решения квадратного уравнения и на больший наложим условие, что он должен быть меньше 1, а на меньший, что он должен быть больше «-1»
Немного преобразуем эту систему для удобства работы и найдем интервалы для каждого из уравнений
Теперь, когда мы получили 3 различных интервала, отметим их на одной прямой и обозначим те отрезки, на которых будет наличие хотя бы одного корня
Задание 15
В данной задаче есть разногласия условия и ответа и поэтому то, что получим мы, будет немного отличаться от ответа, данного в конце задачника. Начнем так же с дискриминанта и сразу же увидим, что ограничения на него не требуются т.к. на рассматриваемом промежутке он всегда положительный
Теперь запишем систему уравнений для корней, которая обосновывается тем, что наибольшее значение sin единица т.е. наибольшее значение корня уравнения будет 2. А наименьшее значение sin «-1» т.е. наименьшее значение корня уравнения 0,5
Возведем все в квадрат и получим 2 квадратных уравнения. Первое из них не будет иметь решений в силу того, что его дискриминант отрицателен. Запишем корни второго уравнения и все нанесем на ось для получения ответа
Задание 16
Т.к. мы имеем дело с тригонометрическими (т.е. периодическими) функциями, то сразу определим наибольшее значение всей функции. Если оно будет положительным, то мы получим, что ни при каких «а» функция не будет отрицательной
Наибольшее значение будет, когда косинус равняется единице. Поэтому подставим ее и посмотрим, что выйдет
После подстановки мы получили, что при любых «а» функция положительна т.е. решений нет
Задание 17
Сразу заметим, что функция должна быть меньше нуля, и при этом «х» лежит в пределах между двумя числами. Это означает, что ветви параболы должны быть направлены вниз т.е. a<0
Теперь запишем дискриминант и условие его существования
Теперь запишем корни уравнения и наложим на них ограничения из условия и после сразу же получаем ответ
Задание 18
Мы опять же имеем то, что «х» находится в пределах между числами, а само уравнение больше нуля, т.е. «а» отрицательное
Запишем дискриминант
После запишем оба корня уравнения и наложим на них ограничения из условия
После, выбрав пересекающиеся участки, запишем ответ
Задание 19
Для начала найдем область для конечного уравнения, а после можем записать наш дискриминант (он всегда положительный)
Теперь запишем оба корня исходного уравнения и соотнесем с результатом, который должен будет получиться
Теперь давайте думать. Нам необходимо исключить область от «-3» до «-1». А это означает, что если наша изначальная функция находится левее, чем «-1», то самая ее левая точка должна быть больше «-1». При этом «а» в кубе будет находиться правее при отрицательных «а», левее при «а» от 0 до 1, и опять правее при «а» больше, чем 1
Если же мы возьмем начальную функцию, находящуюся правее, то самая ее правая точка должна быть меньше, чем «-3», а при таких значениях «а» в кубе всегда будет меньше и будет находиться левее
Задание 20
Опять тригонометрия и опять определим наибольшее и наименьшее значение. Максимум у нас будет единица в точке 0 или 90 градусов, а минимум же в точке 45 градусов
Теперь подставим эти точки в исходное уравнение (для минимум возьмем 135 градусов, чтобы произведение синуса и косинуса было с минусом) и получим систему неравенств
Задание 21
Для начала приведем все к общему знаменателю и получим уравнение относительно икса в квадрате и запишем дискриминант для данного уравнения
В силу того, что корнем уравнения является «х²», то наименьший корень должен быть больше или равняться нулю. Исходя из этого запишем неравенство, которое приведет нас сразу же к ответу
Задание 22
Мы сразу видим, что а>0 т.к. в противном случае правая часть отрицательная, а т.к. «х» строго положительный, то левая часть всегда будет положительной
Т.е. мы имеем, что уравнение имеет корни только при положительном параметре «а»
А в этом случае нам достаточно просто записать обычное решение квадратного уравнения через дискриминант и далее, подставляя различные «а», мы будем получать все корни уравнения
Задание 23
Введем замену переменной и решим квадратное уравнение относительно t
В силу того, что «х» всегда положительный, то t так же должно быть строго положительным. Из этого мы получим, что параметр «а» меньше или равняется «-1»
Теперь сделаем обратную замену и получим квадратное уравнение относительной корня из «х»
Теперь нам требуется решить последнее уравнение для этого дискриминанта
Из условия, что «а» < 1, нам подходит лишь один участок. А теперь, так же как и в прошлой задаче, мы имеем обычный корень квадратного уравнения
Задание 24
Сразу же отметим, что y>0 по свойству логарифма
Начнем с записи дискриминанта и так же найдем область для «у», при которых дискриминант будет положительным
Заметим, что кроме дискриминанта у нас нет никаких ограничений для «х» и, следовательно, для наличия решения нам достаточно, чтобы дискриминант был положительным
Задание 25
И последнее задание на сегодня
Тут мы сразу отметим, что правая часть должна быть всегда положительной (т.к. слева корень) т.е. х≤0
Из этого следует, что а≤1
Теперь давайте все возведем в квадрат и сформируем квадратное уравнение, после записав для него дискриминант
При а≤1 дискриминант всегда буде положителен
Теперь запишем оба корня уравнения с учетом того, что больший из них должен быть меньше, чем 1, а меньший больше 0
Итоги
На этом мы с вами заканчиваем разбор 36-го урока по сборнику Ткачука. В нем нам встретились как достаточно легкие примеры, так и те, которые заставили котелок покипеть. Но в любом случае мы со всем справились и можем двигаться дальше. А пока вы будете разбираться с квадратными уравнениями, которые оказались куда сложнее, чем говорили в 8-ом классе, я пойду готовить для вас следующие разборы
До скорой встречи
Иван