Во многих вопросах теории вероятностей удобно ввести понятие математического ожидания. Когда игрок должен получить некоторую сумму, если произойдет некое случайное событие, вероятность которого известна, то его математическое ожидание есть та сумма, которую по справедливости ему должен был бы внести тот, кто купил бы у него шансы на выигрыш. Например, Петр должен выбросить один раз кость и получить 6 франков, если покажется цифра 4. Легко видеть, что его математическое ожидание равно одному франку, то есть произведению суммы (6), которую можно получить, на вероятность благоприятного исхода 1/6.
Действительно, допустим, что банкомет предлагает выбросить кость и каждому предоставляет возможность держать пари на выбранную им грань, получая в случае выигрыша 6 франков. Если шесть различных игроков ставят соответственно на 6 граней кости, то банкомет должен будет в любом случае уплатить 6 франков, так как будет один выигравший, и только один. Для того чтобы игра была справедливой, нужно, чтобы каждый из шести игроков внес банкомету по одному франку, так как нет никаких оснований для того, чтобы кто-либо из них платил больше или меньше, чем другой, поскольку все шесть граней кости одинаково вероятны. Отсюда мы заключаем, что значение математического ожидания для каждого игрока составляет один франк.
Надо заметить, что численное значение математического ожидания не всегда соответствует вероятной и даже возможной прибыли. Например, если Петр пошел на то, что он будет бросать 11 раз кость и получать 6 франков всякий раз, как выпадет цифра 4, его математическое ожидание составляет 11 франков, а между тем достоверно, что он ни в каком случае не получит эту сумму: он получит 0, 6, 12, 18, 24, ... франков, смотря по тому, выпадет ли цифра 4 у него 0, 1, 2, 3, 4, .. . раз. Можно лишь утверждать, как мы это с точностью увидим в дальнейшем, что при достаточно большом числе подобных партий он в среднем получит 11 франков за партию. В силу этого иной раз говорят, что 11 франков — это его средний, или вероятный, выигрыш. Наоборот, говорят, что его наиболее вероятный выигрыш есть 12 франков, так как легко видеть, что чаще всего будет иметь место выигрыш в двух партиях из одиннадцати. Но этот наиболее вероятный выигрыш значительно менее интересно определить, чем выигрыш вероятный, или средний.
Применение математических ожиданий во многих вопросах имеет то большое преимущество, что математические ожидания, относящиеся к двум каким-либо событиям, можно попросту складывать, независимо от того, связаны ли эти события друг с другом или нет. Действительно, владелец этих математических ожиданий мог бы их продать двум различным лицам и получить таким образом доход, равный сумме значений этих двух ожиданий.
Не забывай подписаться, чтобы не пропустить новую тему, которая может попасться на экзамене или на уроке :)
#интересная_математика #простая_математика #математика #verbin.tutor #репетитор #занимательнаяматематика #алгебра #егэ #огэ #впр #егэбаза