Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Теорема Пифагора, несомненно, является одним из самых замечательных и простых открытий в математике. Как это часто бывает, геометрические умозаключения такого масштаба не ограничиваются плоскостью, а могут быть распространены на пространства более высоких размерностей.
В 1783 году на заседании Парижской академии наук французским математиком Жаном-Полем де Гуа была представлена одноименная теорема, которая является обобщением теоремы Пифагора на трехмерные объекты.
Что взять в объемном пространстве "в качестве" прямоугольного треугольника? Очевидно, что это может быть тетраэдр, в котором три ребра, сходящиеся к одной вершине, являются взаимно перпендикулярными.
Очевидно, особенно для тех, кто знаком с понятием "симплекс"
Интуиция подсказала де Гуа, что с переходом в более высокую размерность, фигурировать в новой теореме Пифагора должны не длины, а площади.
Для начала вычислим сумму квадратов площадей трех граней, используя классическую теорему Пифагора:
Теперь заметим, что площадь основания можно вычислить двумя способами:
Далее найдем квадрат площади видимой грани тетраэдра:
Так это то же самое выражение, что мы видели раньше!
В целом и теорема Пифагора и теорема де Гуа являются частными случаями более общей теоремы о соотношениях мер (длин, площадей, объемов) n-симплексов:
Эту теорему прямо описали только в 1974 году американские математики Дональд Р. Конант и Уильям А. Бейер.
Проще всего эту теорему понять на плоскости. Рассмотрим прямоугольный треугольник и для простоты понимания понятия "базис" расположим его вершину А в координатном нуле:
Теперь по нашей формуле k=1 (мы оперируем длиной), а I={1,2) (размерность пространства). В итоге получаем:
Присмотритесь: все мы часть чего-то большего! Спасибо за внимание!