Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу вернуться к одной из самых простых, но любимых Вами тем - необыкновенным числам. В этой заметке речь пойдет о т.н. числах Фридмана, названных в честь Эрика Фридмана - профессора математики в Университете Стетсона, расположенного в штате Флорида.
Эрих - мастер придумывать головоломки и ребусы в свободное от преподавания и научной работы время. Вот одна из его головоломок, созданных в 2000 году, и привела к появлению занимательного класса чисел.
Числами Фридмана называются числа, которые можно представить в заданной системе счисления в виде выражения, использующего все собственные цифры в сочетании с любой из четырех основных арифметических операций (+, −, ×, ÷), круглых скобок, возведения в степень и конкатенации.
Первые числа Фридмана имеют вид:
Если же для записи числа Фридмана не нужно менять порядок цифр, такое число называется приятным. Вот некоторые представители:
Простейшим примером не чисел Фридмана является любая степень 10, потому что она не может быть выражена как результат вычисления с использованием только арифметических операций и возведения в степень
Но и это еще не всё! Можно поставить условие не только сохранения порядка цифр, но и отсутствия скобок:
Следующая модификация чисел Фридмана называется панцифровой - т.е. использующей все цифры от 1 до 9. Удивительно, но это работает!
Но самыми "редкими" представителями (их тоже бесконечное количество, но распределены они менее плотно) являются n-числа Фридмана.
Порядок n означает количество уникальных представлений числа, написанных таким образом, что все цифры используются единожды.
На данный момент найдены все числа Фридмана в диапазоне до 10000. Их оказалось всего 842 штуки. Как их ищут? Например, математики доказали, что существуют такие "числовые суффиксы", что добавляя их к любому числу, мы получим число Фридмана:
Последним достижением математиков в этой области является доказательство того факта, что асимптотическая плотность чисел Фридмана равна 1 (странно, ведь в первых 100000 их всего 842?). Это значит, что если взять n натуральных чисел, то отношение количества чисел Фридмана к этому n→∞ имеет предел, равный 1.
Например, асимптотическая плотность четных чисел - 1/2, а вот плотность квадратов чисел - 0. Но значит ли это, что четных чисел больше, чем квадратов и меньше, чем чисел Фридмана? Пишите в комментариях!