Аксиоматический метод

О математике без формул

Статья навеяна рассказом моей любимой писательницы

Там речь шла о математике, поэтому я тут как тут!

Только сначала прочтите этот рассказ, хорошо?

Что такое точка? Что такое прямая? Что такое плоскость? Что такое проходит через? Что такое пересекается?... А ничто! Все грамотные математики, и Александр Анатольевич в том числе, прекрасно понимают, что это неопределяемые понятия. И если Евклид писал, что это нечто, не имеющее частей, то это не определение. Идея, что все существующее состоит из атомов (неделимых в переводе), в то время уже существовала. Определение должно работать (использоваться) в доказательствах, а формулировка Евклида не работает. Это просто попытка дать образное представление о понятии. Еще от Евклида:

Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках.

Еще можно написать, что прямая это то, что получится, если натянуть веревку (слово "линия" как раз отсюда; оно однокоренное со словом "лён" или с морским "линь"). Это, конечно же, не работающие определения. Попытки понять, что такое "равно лежит", обычно приводят к тому, что окружность тоже прямая.

А как же тогда работать с понятиями, у которых нет определения?

Давайте задумаемся, зачем мы хотим иметь определение. Дело в том, что определение указывает свойства объекта, которые можно использовать. Как только мы это поняли, то оказывается, что определение не нужно, нужны свойства. Их можно сформулировать прямо, не упаковывая в определение. Такие сформулированные свойства неопределяемых понятий:

Через две (различные) точки можно провести прямую, и только одну.

Если прямая не лежит на плоскости, то она может иметь с этой плоскостью не более одной общей точки.

называются аксиомами.

Системы аксиом являются предметом изучения целой науки, называемой математической логикой. Действующие математики обычно свои рассуждения не доводят до прямых ссылок на аксиомы, но действуют в уверенности, что в принципе это возможно (понимание того, где это действительно возможно, а какое рассуждение ошибочно или, по крайней мере, неполно, и воспитывается в них изучением математической логики).

Такое четкое понимание аксиоматического метода возникло довольно поздно, науке надо было набрать достаточно материала для осмысления. Это XIX и даже XX века. Причем начиналось именно с геометрии: Лобачевский, Гаусс, Бойяи, Риман, Гильберт... (навскидку вспомнил эти имена).

Позволю себе цитату из неопубликованного пока моего текста:

«Что такое полоски?», спросил Бинки.

«Полоски, это такие… полоски», сказала мама. «Они должны быть у всех тигров. Они должны быть у всех тигрят.»

Вот полоски — это неопределяемое понятие. А у кого они должны быть — аксиомы.

Возвращаясь к Александру Анатольевичу, можно предположить, что он таким образом скрыл свое снисходительное отношение к студентке, которая своим поведением делала его занятия более интересными даже для совсем немотивированных студентов. А может быть, он-таки задумывался над методической проблемой: как объяснять неопределяемые понятия.