Наглядное решение одного из самых известных парадоксов древности

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Прежде чем перейти к дальнейшему изложению теории топологических пространств или математики избирательных систем (пока не определился что за чем), хочу немного окунуться в древность и вспомнить знаменитый апорий Зенона "Дихотомия". Напомню, как он звучит в обыденной формулировке:

Источник: https://avatars.mds.yandex.net/get-zen_doc/1706517/pub_5d43309afbe6e700ade103ae_5d4333e58600e100ac269190/scale_1200

Отправляясь куда бы то ни было, необходимо пройти сначала половину пути, затем половину оставшегося расстояния, и так до бесконечности. Отсюда неминуемо следует вывод: достичь конечного пункта в принципе невозможно

Перейдем совершенно естественным образом во временную область. Предположим, что дом Зенона в одном километре от парка, и Зенон идёт со скоростью 1 км/час. Таким образом, что путешествие продлится 1 час. Но что будет, если разбить время на части? Первая часть путешествия займёт 1/2 часа, следующая — 1/4 часа, следующая — 1/8 часа, и так далее.

Понятно, что с математической точки зрения парадокс дихотомии сводится к существованию конечной суммы бесконечного ряда, которая и будет равняться времени, затраченному Зеноном:

И это, казалось бы, просто, если знать что этот ряд представляет собой геометрическую прогрессию:

Но наши предки были незнакомы с понятиями математического анализа, поэтому выкручивались с помощью геометрической интуиции. Например, в 14 веке французский ученый Николай Орем в качестве доказательства того, "что Зенон точно дойдет за дома за конечное время", привел такой рисунок:

Ведь ни у кого же возникает сомнений, что площадь квадрата конечна и равна 1? Но то же самое мы можем получить, складывая прямоугольники и квадраты один за другим!

На самом деле, апорий Зенона о дихотомии (его также называют парадоксом стрелы) - очень сильное метафизическое рассуждение не просто о достижимости какой-либо физической цели, которая находится на некотором расстоянии, но и о природе пространства и времени.

Впрочем, не все так заморачивались. Например, Диоген Циник ничего не сказал, услышав аргументы Зенона, но встал и пошел, чтобы продемонстрировать ложность выводов Зенона. Источник: https://avatars.mds.yandex.net/get-zen_gallery/2783863/pub_5f41f5887551c72956a2b0aa_5f41f5f55b9ece52c56d27c8/scale_1200

Главный вопрос: дискретны ли они (разрывны) или непрерывны? Этот вопрос ставил еще Архимед, размышляя над утверждением, которое современники назовут аксиомой Архимеда, и отрицание которой ляжет в основу нестандартного анализа гипервещественных чисел:

• Спасибо за внимание!
• TELEGRAM и Вконтакте- там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.