Всем привет
Сегодня мы поговорим про очень эффективный и простой, но непопулярный метод решения стереометрических задач, а именно векторный метод
Его плюс заключается в том, что для отыскания расстояния между линиями или длинны отрезка, нам не требуется обосновывать расположение прямых, их принадлежность к плоскостям, доказывать перпендикулярность и т.д.
Нам лишь достаточно задать систему векторов через их координаты и составить систему уравнений
Для примера возьмем задачу из последнего варианта, где требовалось найти расстояние между двумя прямыми
Рисунок и некоторые данные возьмем из прошлого способа
Поместим куб в систему координат, а именно точкой "С" в начало координат
Необходимое нам расстояние есть вектор HH1. Возьмем замкнутую систему из 4-ех векторов (можно меньше, можно больше, это вопрос удобства отыскания координат векторов)
В таком случае, раз это замкнутая система т.е. начало и конец в одной точке, то их сумма будет равняться нулю. После выразим искомый вектор, а вектора H1N и МН запишем через какую-то часть от векторов B1N и МС соответственно.
Теперь запишем координаты точек начал и концов наших векторов с учетом длин ребер куба, которые нашли ранее (в первом способе с решением всей 2-ой части). После записи координат точек мы сможем записать координаты векторов с учетом правил работы с векторами
Теперь мы можем записать и сам вектор НН1 и в нем будет две неизвестные α и β. Для отыскания координат вектора складываем все координаты по "х", "у" и "z" отдельно
Теперь запишем необходимое нам условие, а именно условие ортогональности вектора HH1 к векторам B1N и MV
Данное условие выражается в том, что скалярное произведение ортогональных векторов равняется нулю
Из ортогональности с первым вектором мы находим коэффициент α
Запишем то же самое для второго и получим коэффициент β
Теперь мы знаем оба коэффициента и можем записать координаты искомого вектора HH1, а значит, и можем найти его длину
Длина вектора (его модуль) определяется как квадратный корень от суммы квадратов его координат
По итогу мы получили один и тот же ответ двумя разными способами
Возможно в данной задаче в силу красивых коэффициентов и подобия треугольников, координатный метод не настолько актуален, но он универсален и для него нет разницы насколько удобные коэффициенты, есть ли подобие, наличие достроений и т.д. Он будет работать всегда и по одному принципу
В дальнейшем мы с вами еще будем решать задачи этим способом, но пока на этом все
До скорых встреч
Иван