Чем интересна сравнительно новая наука «топология», какие загадки она в себе таит, почему бублик и кружка — это топологически одинаковые предметы? На эти и другие вопросы отвечает профессор кафедры компьютерной топологии и алгебры математического факультета ЧелГУ, академик РАН, доктор физико-математических наук, профессор Сергей Матвеев.
Что такое топология? И когда ее начали изучать?
Раздел математики, который сейчас называется топологией, берет свое начало с изучения задач геометрии. Источники указывают на первые топологические результаты в работах Лейбница и Эйлера, но термин «топология» впервые появился в 1847 году в работе Листинга.
Топология — раздел математики, изучающий в самом общем виде явление непрерывности, в частности, свойства геометрических тел и множеств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях.
Непрерывная деформация — это деформация фигуры, при которой не происходит разрывов (нарушения целостности фигуры) или склеиваний (отождествления ее точек). Например, растяжение, сжатие, изгибание. Такие геометрические свойства связаны с положением, а не с формой или величиной фигуры.
Примерами таких свойств являются свойства связности, ориентируемости, компактности. Топологию часто называют «геометрией на резиновом листе».
Одна из знаменитых задач топологии — о кенигсбергских мостах — была решена в 1752 году Л. Эйлером, который дал топологический подход к практической задаче.
В 1840 году А. Мебиусом была сформулирована «проблема 4 красок»: можно ли любую карту раскрасить в четыре цвета так, чтобы любые две страны, имеющие общую границу, были раскрашены разными цветами. Только в 1976 году американскими математиками задача была решена при использовании вычислительных машин.
Чем интересна данная область знания?
Топология — сравнительно молодая математическая наука. Примерно за сто лет ее существования в ней достигнуты результаты, важные для многих разделов математики. Поэтому проникновение в «мир топологии» для начинающего несколько затруднительно, так как требует знания многих фактов геометрии, алгебры, анализа и других разделов математики, а также умения рассуждать.Фундамент этой науки, достаточно детально разработанный для пространства любого числа измерений, создал Анри Пуанкаре.
Известный математик Андре Вейль сказал, что за душу каждого математика борются ангел топологии и дьявол абстрактной алгебры. Этим подчеркнул необычайное изящество и красоту топологии. Вся современная математика представляет собой причудливое переплетение идей топологии и алгебры.
Почему бублик и кружка — это топологически одинаковые вещи? Какие еще предметы изучаются там?
Весьма важными для топологии являются понятия гомеоморфизма и гомотопии (упрощенно: это типы деформации, происходящие без разрывов и склеиваний), своего рода качественная геометрия.
Давайте представим, что кружка состоит из мягкого материала, например, из глины. Непрерывно (ничего не разрывая, а только сминая) можно превратить кружку в бублик. Поэтому, с топологической точки зрения кружка и бублик — это один и тот же объект.
Еще одним примером топологического преобразования является пример расцепления пальцев топологического человека. Человек зацепил пальцы рук, но топология позволила разъединить руки. Лучше всего это проиллюстрировать на картинке.
В какой области науки ее используют? И почему эта сфера важна для науки?
За последние годы идеи и методы топологии все больше проникают в физику, химию и биологию. Например, топологические свойства замкнутых контуров и пленок на проективной плоскости дают возможность проанализировать ряд вопросов, связанных с устойчивостью и слиянием дисклинаций (явление дислокации, вызванное нарушением осевой симметрии кристаллической решетки) и особых точек в оптически одноосном жидком кристалле.
Теория узлов —одна из ветвей топологии — нашла применение в биологии при расшифровке ДНК. Сейчас даже проводятся конференции, объединяющие топологов и биологов.
Обнаружены важные приложения топологии в механике к теории интегрируемых гамильтоновых систем.
«Ломоносов говорил о том, что «математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит». Развитие интеллектуальных способностей человека приводит к тому, что он начинает хорошо ориентироваться и в других дисциплинах, там, где требуются эти же навыки. Фактически можно сказать, что математика — это основа человеческого интеллектуального потенциала или, как говорили древние — «царица наук». Топология в наши дни лежит в основании многих математических разделов, это обусловлено красотой топологических подходов к решениям задач как практики, так и теории», — подытожил профессор кафедры компьютерной топологии и алгебры математического факультета ЧелГУ, академик РАН, доктор физико-математических наук, профессор Сергей Матвеев.