Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу снова погрузиться в одну из наиболее абстрактных областей математики - теорию чисел. В этом направлении есть как очевидные успехи (например, негативное доказательство теорема Ферма), так и провалы (например, гипотеза Римана о нулях дзета-функции). Но сейчас я хочу остановиться на менее знаменитых задачах, которые, однако, остаются не решенными до сих пор.
В 1912 году немецкий математик Эдмунд Ландау выступил в Кембридже на Пятом Международном конгрессе математиков (на котором был избран председателем). Он перечислил четыре важные нерешённые проблемы теории чисел, ни одна из которых не решена и по сей день.
Эти проблемы были выражены в его докладе как «неприступные при текущем состоянии математики» и они известны теперь как проблемы Ландау
Бинарная гипотеза Гольдбаха
За потрясающей простотой формулировки скрыта просто исполинская сложность:
Доказать, что каждое четное число, большее 4, представимо как сумма двух простых чисел.
На счет этого у меня уже есть материал на канале:
Гипотеза о простых близнецах
Следуя гипотезе, среди простых чисел существует бесконечное количество, отличающихся ровно на 2:
Первые реальные подвижки по этой задаче произошли лишь в 2013 году, когда было доказано, что существует бесконечное количество пар простых чисел, отличающихся не более чем на... 70 миллионов!
Не стоит удивляться, такой подход - это классика теории чисел. Сначала математики цепляются за какую нибудь невероятную границу (например, в гипотезе Гольдбаха сначала фигурировало число с 1 млн. знаков), постепенно её уменьшая.
Дальше два успешных варианта - либо проблема решается логически, т.е. строго доказывается, либо граница становится настолько близкой, что проблема решается "в лоб" путем перебора на супер-ЭВМ или распределенных сетях энтузиастов.
Так и здесь. На данный момент доказано, что существует бесконечное число простых чисел, отличающихся на 246.
Гипотеза Лежандра
Согласно этой гипотезе между каждыми последовательными квадратами натуральных чисел существует хотя бы одно простое число:
Вся проблема в том, что чем дальше, тем распределение простых чисел становится менее плотным, и вполне возможно, что где-то найдется пустой интервал между квадратами.На 2022 год главным успех в решении задачи - доказательство хотя бы одного простого числа между последовательными кубами натуральных чисел.
Гипотеза о почти квадратных простых числах
Существует ли бесконечно много простых чисел p, для которых p − 1 является полным квадратом?
2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677,...
Как видно, 17 = 4*4 +1, 401 = 20*20 +1 и т.д. Считается, что эта последовательность никогда не закончится, но строгого доказательства нет. Показано лишь то, что если "разбавить" этот ряд полупростыми числами (например 77 = 7*11 - является произведением двух простых), то он будет продолжаться в бесконечность.