Всем привет
Сегодня на повестке дня вариант вступительных испытаний по математике для одной из сильнейших школ Екатеринбурга и Свердловской области - СУЦН УрФУ
В СУНЦе всегда было достаточно много заданий на вариант и этот год не стал исключением, 14 задач различной сложности и уровня и мы разберем с вами их все
Задание 1
Группируем первый с третьим, второй с четвертым и выносим 180 за скобку и получаем красивый ответ
Задание 2
Для решения обозначим суммы соответственное 5х, 9х и 7х и найдем отсюда "х" и решим подсистему относительно самих неизвестных a, b, c
Задача 3
Раскроем модуль и решим 2 подсистемы для каждого раскрытия модуля
В первом случае сокращается скобка (х-1), во втором та же скобка, но с минусом. В результате объединяем 2 промежутка и получаем ответ
Задача 4
Точка К- середина АВ и равняется 5. Запишем теорему Пифагора для R и r и далее запишем площадь заштрихованной фигуры через разность большей и меньшей окружности и в ней будет участвовать разность квадратов радиусов
Задача 5
Обозначим массу магния через "х" и запишем систему для двух случаем - с массой х и массой х+10
Задача 6
Сократим тройки и произведем группировку по численному коэффициенты (3 и 2) и далее сможем произвести еще одну группировку и произведение двух скобок, откуда получим все значения неизвестной
Задача 7
Рассмотрим оба корня на данном промежутке и начнем с того, что это квадраты разности и вынесем их из под корня с учетом того, что из под корня выходит модуль числа. Далее разложим числители и получим сокращение всего
Задача 8
Отмети на рисунке высоту и проведем к ней одну из диагоналей и получим прямоугольный треугольник с углом в 30 градусов т.к. он опирается на ту же дугу, что и центральный угол, размерностью в 60 градусов. В таком случае диагональ равняется 6. Если мы проведем вторую диагональ, то угол между диагоналями равняется 120 градусам и тогда мы можем найти площадь через половину произведения диагоналей на синус угла между ними
Задача 9
Функция слева представляет квадрат и, если раскроем модули и изобразим функции, то получим как раз квадрат
Далее найдем площадь так же через половину произведения диагоналей
Задача 10
Воспользуемся тем, что медиана делит треугольник на два равновеликих и отсюда получим, что площадь всей фигуры равняется удвоенной сумме имеющихся площадей т.к. они складываются из половинок треугольников
Задача 11
В первом уравнении вынесем xy и подставим сюда (х+у) из второго уравнения и получим уравнение относительно произведения (ху). Решив его, получим два корня и с помощью исходного уравнения создадим еще одну систему и решим уже ее
Задача 12
Для нахождения площадей треугольников нам требуется найти отношения их оснований (МО и ОD) т.к. высота из вершины А будет одинаковой. Для этого обозначим МС, ВМ и AD через х и получим, что отношение МО/OD=2/15 и, соответственно, площади соотносятся так же. Далее запишем площадь трапеции и выразим "х" через высоту и найдем площадь треугольника AMD и после представим ее как сумму площадей треугольников AMO и AOD
Задача 13
В сумме у нас 33 черных и 32 белых квадрата и, следовательно, мы не сможем там разложить доминошки т.к. для этого, как минимум, должно равняться количество ячеек каждого цвета
Задача 14
Данное уравнение имеет максимум 3 корня и, следовательно, для того, чтобы было 2 корня у нас какие-то 2 должны равняться (с выполнением ОДЗ) или же они должны быть все 3, но один один из корней не попадает в ОДЗ. В первых 3-ех случаях мы приравниваем корни попарно и в 2-ух системах получаем первые 2 значения для "а". Третья и четвертая система не имеет решение. В последней мы уже получаем интервал и в итоге все объединяем в единый ответ
До скорых встреч)