Теперь о двойном отрицании

О математике без формул

Это продолжение статьи

Тут будет немного более сухо...

Разобрав, что такое отрицание утверждения, следует остановиться на двойном отрицании.

У математиков есть мощный способ доказательства, называемый доказательством от противного. Заключается он вот в чем.

Пусть надо доказать утверждение А. Предположим (временно), что доказываемое утверждение неверно:
«неверно, что А».
Это новое утверждение назовем неА. У математиков для этого есть другие обозначения, но пусть их!

Аккуратно и правильно выводим из неА следствия. Выводим, выводим, пока — фу-у, какая чушь получилась!

Ну, значит, неА было неверным. То есть верно
«неверно, что неА». (*)
Это двойное отрицание, знакомьтесь!

Перефразируем:
«А не может быть неверно»,
«А не может не быть верным»,

Последнее уже не двойное отрицание, а литературный синоним утверждению
«А верно». (**)

Математики выражают это проще и четче:
«Утверждение А доказано».

Вот этот переход от утверждения (*) к (**) называется законом исключенного третьего:
Верно А или неА, а третьему не бывать.

Это аксиома, а не доказываемая теорема. Аргументы вида "Ну, это же дураку понятно!" доказательством не являются, так как математики дураками себя не считают. Думаю, это простительная слабость. На ней держится вся математика.

Мой плавный переход от (*) к (**) призван убедить вашу интуицию в правильности аксиомы, но доказательством также не является. Если формализовать эти преобразования, как это делают логики, то обнаружится применение закона исключенного третьего в ходе самих этих преобразований.

Есть среди математиков диссиденты, отрицающие возможность неограниченного применения закона исключенного третьего. В результате их наука оказывается строже, беднее результатами, но эта строгость имеет определенный прикладной смысл. Большинству же душно в этих узких рамках!

Закон исключенного третьего позволяет проверять правильность отрицания утверждений. Если вернуться к примеру прошлой публикации, то утверждения «Я люблю» и «Я терпеть не могу» не являются отрицаниями друг друга, так как между ними до хрена третьих.