Вообще, я не люблю выражение «высшая математика». Это что же выходит – что вся остальная математика, прежде всего школьная – «низшая»? Чепуха!
В любой науке бывают разные задачи – как простые, так и сложные. А из-за слова «высшая» некоторые пугаются. Или, наоборот, задирают нос. Вот, дескать, какую мы сложную науку изучаем!..
Кстати, для тех, кто её изучает или уже изучил, задачка:
Шли 12 человек, несли 12 хлебов. Каждый мужчина нёс по 2 хлеба, каждая женщина – по половине хлеба, а каждый ребёнок – по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?
А теперь – про «высшую» математику. Давайте поиграем... в школу магии, чародейства и волшебства. Чур я буду профессором!
На днях я изобрёл пару заклинаний, и мы с вами их сегодня вместе выучим. Первое заклинание вот какое. Наводим волшебную палочку на предмет, потом делаем взмах палочкой и произносим громко и чётко:
ДИФФЕРЕНЦИО!
Что делает это заклинание? Оно «разбирает» любой предмет на части. Например, если я возьму большой батон, и применю к нему это заклинание, то батон у меня сам по себе разрежется на ломтики. Ура, можно готовить бутерброды на весь класс!
Для того, чтобы сокращённо записывать это заклинание в тетрадке, мы будем использовать букву «d» (читается: «дэ»). Сперва будем писать букву «d», а потом – предмет, на который действует наше заклинание. Например, у меня есть шоколадка. Тогда если я напишу...
dШОКОЛАДКА
...это означает, что я применил заклинание «дифференцио» на объект «шоколадка». Что у нас получится тогда?
Совершенно верно! То есть мы можем записать:
dШОКОЛАДКА = КУСОЧКИ ШОКОЛАДКИ
А теперь внимание, вопрос: что будет означать вот такая вот надпись?
dX
Ну наверное это будет «дэ-икс»... «Дэ» – это наше заклинание. Но что такое «икс»?
А мы этого не знаем. Это что-то неизвестное. «Что-то неизвестное, разделённое на маленькие кусочки».
Например: мальчику Андрюше тысячу раз говорили не играть в футбол в квартире, а он всё-таки не послушался и... БАМС! Грохот и звон! Что разбилось, мы не знаем, но уже понимаем – что-то разбилось, разлетелось на осколки... И вот это самое «что-то» (пока нам неизвестное) и есть dX.
Мама скорее бежит в комнату и видит:
Значит, X – это ВАЗА! Тогда чему у нас будет равно dX? Что получится?
dX = dВАЗА = ОСКОЛКИ ВАЗЫ
Мама очень расстроена. А скоро с работы вернётся папа, и у мальчика Андрюши могут быть серьёзные неприятности... Поэтому, чтобы его выручить, я придумал ещё одно замечательное заклинание. Наводим волшебную палочку на осколки, потом делаем взмах палочкой и громко говорим:
ИНТЕГРО!
Давайте повторим это заклинание вместе, хором:
ИНТЕГРО!
Это заклинание соберёт осколки обратно в целую вазу!
Если применить его к отдельным разрозненным частям, то эти части сами соберутся в единое целое. Разрезанный на куски батон? Используем наше заклинание – и получаем снова целый батон. И так далее. Сокращённо в тетрадке мы это заклинание будем записывать с помощью вот такого символа:
∫
Он называется «интеграл».
Видели такой в фильме «Приключения Электроника»?
Знак интеграла показывает нам, что мы превращаем отдельные части в единое целое. Если я запишу вот так...
∫ОСКОЛКИ ВАЗЫ
... что у меня получится?
∫ОСКОЛКИ ВАЗЫ = ВАЗА
Вот ещё примеры:
∫ЛОМТИКИ ЯБЛОКА = ЯБЛОКО
∫КУСОЧКИ ШОКОЛАДКИ = ШОКОЛАДКА
А теперь давайте вместе с вами подумаем, что произойдёт, если последовательно, по очереди, использовать наши заклинания? Сперва – «дифференцио», затем – «интегро»?
Что произойдёт с предметом?
Заклинание «дифференцио» превратит предмет в отдельные кусочки. А заклинание «интегро» соберёт отдельные кусочки снова в целый предмет. То есть с предметом, получается, ничего не произойдёт!
А теперь – внимание, главный и самый важный вопрос. Если я поставлю знак интеграла, применю заклинание «интегро» к разрезанному на кусочки неизвестному нам «иксу», что получится?
∫dX = ?
Это означает, что мы неизвестный «икс» разделили на маленькие кусочки, а потом снова собрали вместе. И тогда у нас снова получится целый неизвестный «икс», верно?
Совершенно верно! Запишем это на доске:
∫dX = X
Читается это так: «интеграл дэ икс равен икс».
А теперь раскрою секрет. Перед нами – одна из самых главных и основных формул той самой ужасной и кошмарной высшей математики.
Это как модель из конструктора – если разобрать, а потом снова собрать, то получается та же самая модель... Но какие задачи помогает решать эта формула?
Ну, например, одна из типичных задач высшей математики, точнее, математического анализа – измерение длины кривых линий. Измерять длину отрезка прямой все умеют – приложили линейку, посмотрели на деления, и всё понятно. А вот как измерить длину кривой линии? Изобретать кривую линейку? Так ведь все кривые линии разные, это сколько же разных линеек придётся изобретать? Вот тут-то и приходит на выручку наша формула.
Мы «разрезаем» нашу кривую на маленькие кусочки – настолько маленькие, что каждый из них в отдельности вполне похож на отрезок прямой, и может быть измерен обыкновенной линейкой. А потом снова «соберём вместе» наши результаты – и получим ответ на вопрос задачи!
Некоторые считают, что интегралы – изобретение современной математики. Однако на самом деле к понятию интеграла вплотную приблизился ещё великий древнегреческий математик Архимед. Его всегда очень интересовали задачи определения площадей и объёмов фигур. Допустим, мы можем указать простую и точную формулу для нахождения площади квадрата или объёма куба. Но что делать с фигурами более сложной формы? Тогда Архимед и высказал блестящую идею: скажем, если требуется определить объём мраморной статуи, можно раздробить её молотком на отдельные песчинки (эх, жалко статую, но чего не сделаешь ради науки!) – и, подсчитав количество песчинок, найти искомый объём.
Подобным же образом можно определить площадь плоской фигуры сложной формы – аккуратно засыплем её тонким слоем песчинок, а затем снова посчитаем их количество.
Этот приём – «разделить на песчинки (то есть мелкие части), измерить, а затем объединить результат» – Архимеду очень понравился. В дальнейшем он использовал различные варианты этого метода – например, при определении объёма не «разбивал» фигуры на отдельные песчинки, а «разрезал» на тонкие «слои». Однако общий смысл метода при этом не изменялся.
При помощи «метода песчинок» Архимед (первым в мире!) попробовал определить размер нашей Вселенной. Кроме того, он догадывался, что подобный способ решения задач может работать не только в пространстве, но и во времени – например, мы можем описать полёт стрелы, пущенной из лука, как некую «киноленту», содержащую все положения стрелы в каждый момент времени. Снова – «разделить, а затем объединить», только разделение уже происходит по времени...
К сожалению, для древнего мира идеи Архимеда оказались слишком сложными. На полторы тысячи лет понятие интеграла было забыто – пока этот замечательный способ решения задач не ввели в математику повторно Лейбниц и Ньютон в конце XVII века. Окончательное и строгое математически описание интеграла дали только в XIX веке учёные Риман и Лебег.
Ну, а теперь решение задачи про 12 хлебов
Если каждый мужчина несет по 2 хлеба, то мужчин не может быть больше пяти: 6 мужчин по 2 хлеба – это уже 12, тогда женщинам и детям ничего не достанется. Поэтому пусть мужчин будет 5.
Осталось 7 свободных мест из 12 человек и 2 хлеба (10 хлебов несут мужчины). Если все семеро оставшихся - дети, и каждый несет по четвертушке хлеба, то получится 7/4, то есть целый хлеб и три четверти. А нам нужно 2 хлеба, не хватает одной четвертинки. Уберем одного ребенка (минус четверть хлеба) и добавим одну женщину (плюс половина хлеба). Задача решена: шло 5 мужчин, 1 женщина и 6 детей.
Правильно?
Читайте также:
Принцип Кавальери, или Геометрия по-детски!
На сайте Почты России открыта подписка на журнал "Лучик" на второе полугодие! Полистать номера журнала "Лучик" можно здесь.