Представьте, что измеряемая величина постоянно изменяется, причем скорость изменения не позволяет нам зафиксировать конкретное значение измеряемой величины. Поскольку мы в последних статьях говорили об измерении напряжения, продолжим рассматривать именно измерение напряжения, но постоянно изменяющегося. Причем характер этого изменения не периодический. А значит, задача не будет сводиться к измерению действующего значения напряжения, даже с использованием разложения в ряд Фурье на составляющие гармоники.
Да, я знаю о дискретном преобразовании Фурье. Но сегодня речь совсем не о нем. Да и понятие действующего значения неприменимо к произвольно апериодически изменяющемуся напряжению.
Почему мы рассматриваем именно напряжение я уже говорил ранее. Большинство современных измерительных приборов электронные, но не обязательно цифровые. И измеряемая физическая величина обычно преобразуется в напряжение, которое и измеряется.
В статье не получится избежать математики, но я постараюсь свести ее к минимуму. Если вы очень не любите математику, можете пропускать выкладки.
Важно отметить, что сегодняшняя статья никак не касается аналогово-цифрового преобразования. Мы будем говорить об аналоговом и дискретном. Но не цифровом.
Почти лирическое отступление
Нам сегодня будут важными два определения из
Первое касается измерений с использованием шкал. Да, опять и снова. Но это действительно важно. Вот это определение:
- 4.5 метод измерений: Прием или совокупность приемов сравнения измеряемой величины с ее единицей или соотнесения со шкалой в соответствии с реализованным принципом измерений.
Вот это "соотнесение со шкалой" и будет сегодня, явно и неявно, присутствовать в наших рассуждениях.
Второе касается самой допустимости проведения измерения непрерывно изменяющихся величин.
- 4.15 динамический режим (использования средства измерений): Режим использования средства измерений, связанный с изменениями условий (факторов) за время проведения измерительного эксперимента, которые влияют на результат измерения (оценку измеряемой величины), в т.ч. изменение измеряемой величины за время измерения.
- 4.16 динамическое измерение: Измерение, при котором средства измерений используют в динамическом режиме.
- 7.16 динамическая погрешность (средства измерений): Разность между погрешностью средства измерений в динамическом режиме и его статистической погрешностью, соответствующей значению величины в данный момент времени.
Таким образом, возможность измерения величины в изменяющихся условиях, как и непрерывно изменяющейся величины, предусматривается в явном виде даже в нормативных документах. И достаточно подробно рассматривается в метрологии. При этом динамические измерения действительно имеют дополнительную погрешность. И мы сегодня это кратко рассмотрим.
Данное уточнение мне понадобилось из-за дискуссии, часть которой читатели могут видеть в комментариях к статьям.
Поймать неуловимое
Давайте на некоторое время отойдем от электрических измерений и займемся измерениями механическими. Это поможет нам понять, что лежит в основе способов измерения непрерывно изменяющихся величин.
Предположим, что у нас есть быстро и хаотично движущийся в некотором ограниченном пространстве маленький шарик и нам нужно определять положение этого шарика. Причем мы не можем его останавливать, а уследить за ним глазами невозможно, слишком быстро движется
Определение положения шарика сводится к определению двух координат. Эти координаты определяются по двум шкалам, которые расположены на координатных осях. Таким образом, задача сводится к измерению двух расстояний от начала координат до проекции положения шарика на соответствующую ось. Длин двух отрезков. Проблема в том, что эти расстояния непрерывно изменяются.
Появление кинематографа дало нам способ решения этой проблемы. Установим кинокамеру и будем снимать движение шарика. Кинофильм это непрерывная быстрая смена отдельных кадров, фотографий, что и создает иллюзию движущегося изображения из-за инерции человеческого зрения. Обычная кинокамера снимает 24 кадра в секунду. И мы можем после обработки пленки рассмотреть каждый отдельный кадр. Но это не обязательно полностью решит нашу проблему
Если шарик движется быстро, то он все таки успевает сместиться за время съемки (время экспозиции) одного кадра. И мы увидим в кадре часть траектории, "размазанный" шарик. Да, теперь мы можем видеть диапазон значений координат, но точное их определение все еще невозможно. Дело в том, что для формирования изображения на пленке необходимо некоторое время.
Вот это время съемки одного кадра, в нашем случае, и есть время проведения одного измерения. Мы можем попытаться уменьшить время экспозиции, причем даже сохранив частоту кадров неизменной. Дело в том, что у кинокамеры частота смены кадров и время экспозиции регулируются независимо (почти независимо). Пленка движется прерывисто, что обеспечивается грейфером или скачковым барабаном
Время экспозиции одного кадра определяется углом раскрытия лепестков обтюратора. Количество попадающего на пленку света определяется диафрагмой. Если мы уменьшаем угол раскрытия лепестков обтюратора сокращая время экспозиции, нам неизбежно потребуется увеличивать количество попадающего на пленку света открывая диафрагму и увеличивая освещенность снимаемого объекта.
И в какой то момент времени мы достигнем предела. Диафрагма полностью открыта и мощность осветительных ламп такова, что объект съемки начинает разрушаться. К тому же, экспозиция кадра все равно не будет мгновенной. По кадру будет двигаться проекция щели, образованной почти сомкнутыми лепестками обтюратора. А цели, поймать положение шарика, мы все еще можем не достичь.
Обтюратор обеспечивает прерывающийся световой поток. Но мы можем достичь такого же эффекта убрав обтюратор и освещая объект съемки вспышками света от импульсной лампы. Да, вы угадали, это обычный стробоскоп. Причем мы при этом получаем несколько плюсов. Во первых, длительность вспышки лампы, длительность светового импульса, может быть достаточно малой, чего не получится достичь обтюратором. Во вторых, уменьшается нагрев объекта съемки (это специфика, но все таки). В третьих, теперь у нас площадь кадра засвечивается одномоментно, а не движущейся щелью.
При этом, сохраняется правило, что чем короче вспышка, тем более яркой она должна быть. Импульсная лампа-вспышка обеспечивает стробирование. Вспышки являются стробирующими световыми импульсами. Конечно, это не обеспечит полной победы, так как шарик все еще может двигаться слишком быстро. Но вероятность успеха значительно увеличивает.
Этот, несколько затянутый, пример наглядно показывает основной способ измерения изменяющихся физических величин. Вот теперь мы можем вернуться к нашему напряжению.
Дискретизация
Чем мы занимались, когда пытались измерять положение шарика? Мы занимались измерением мгновенных значений координат. Шарик двигался хаотично, поэтому не было возможности аналитического описания его движения, мы не могли записать формулу движения. Но мы можем построить траекторию движения шарика по точкам, по мгновенным положениям шарика в заданные моменты времени.
Тот же самый подход применим и для измерения непрерывно изменяющегося напряжения. Давайте рассмотрим пример
Мы не можем составить формулу, которая описывает такое изменение. И мы видим, что это изменение носит аналоговый характер. Значит, нам нужно превратить эту непрерывную функцию в набор последовательных мгновенных значений. Так же, как мы поступали с положениями шарика. Этот процесс и называется дискретизацией.
- Дискретизация это преобразование непрерывной во времени величины в последовательность мгновенных значений этой величины соответствующих заданным моментам времени.
В нашем случае, величина это напряжение. Пора приступать к дискретизации нашего изменяющегося напряжения, нашего сигнала. Давайте "установим кинокамеру", которая будет "снимать" изменение напряжения.
Серые прямоугольники показывают время измерения мгновенных значений напряжения. Как в случае с шариком, за время одного измерения значение напряжения изменяется, иногда значительно. И мы не можем однозначно сказать, какое именно значение напряжения считать результатом измерения. Мы не можем "поймать" напряжение точно так же, как раньше не могли поймать шарик.
Давайте введем обозначения, которые будем в дальнейшем использовать
Величина обратная периоду дискретизации называется частотой дискретизации. Если использовать нашу "киношную" аналогию, это частота кадров. А время измерения это аналог времени экспозиции.
Теперь мы можем записать процесс дискретизации как установление соответствия аналогового сигнала и дискретного
Но что такое дискретный сигнал? Из определения следует, что это множество мгновенных значений аналогового сигнала в моменты времени кратные периоду дискретизации
Теперь мы можем нарисовать электрический аналог "кинокамеры", коммутатор, который будет превращать аналоговый сигнал в дискретный
Управление переключателем осуществляется стробирующим сигналом с частотой дискретизации. Он обеспечивает нахождение переключателя в верхнем положении в течении интервала времени τ, времени измерения. Остаток периода дискретизации переключатель находится в нижнем положении и выходное напряжение равно 0. Возникает вопрос, зачем нам потребовался усилитель (масштабирующее звено, на самом деле) с коэффициентом передачи 1/τ?
Дискретный сигнал, множество мгновенных значений напряжения x(t), называемых отсчетами, можно представить как произведение функции сигнала и стробирующей функции
Стробирующая функция соответствует импульсам дискретизации. Масштабирующий множитель 1/τ, который и показан на схеме коммутатора в виде масштабирующего усилителя, обеспечивает нормирование площади стробирующих импульсов к единице, за интервал времени τ. В результате, на выходе мы получим или входное напряжение во время измерения, или ноль.
Мы используем суммирование, а не интегрирование, так как функция стробирования дискретна. Теперь можно вернуться непосредственно к нашим измерениям. Мы видели это на примере шарика. Мы видим это на примере напряжения. Что бы иметь возможность точной и однозначной фиксации, измерения, мгновенного значения, необходимо сокращать время измерения τ. Уменьшение τ оказывает влияние на стробирующую функцию. В пределе стробирующая функция становится решетчатой
Наша стробирующая функция стала дельта-функцией.
Дельта-функция, она же функция Дирака, относится к обобщенным функциям. Она оказывается полезной не только в математике, но и в физике. Нам же сегодня важно, что дельта-функция обладает стробирующим действием. Для нас дельта-функция является стробирующим импульсом нулевой длительности. Идеальным стробирующим импульсом.
Не стоит считать, что нулевая длительность означает отсутствие импульса. Площадь такого стробирующего импульса по прежнему равна единице. Что видно из правой части иллюстрации к определению дельта-функции. И мы можем записать формулу для дискретного сигнала с использованием дельта-функции, вместо использовавшейся нами ранее стробирующей функции. Поскольку это достаточно тривиально, вы можете сделать это самостоятельно.
Для тех, кто не верит в приведенные выше математические формулы, приведу чисто математическую формулу, которая показывает действие дельта функции
И вы можете выполнить все математические преобразования самостоятельно. А мы не будем дальше углубляться в математические дебри.
Наш сигнал после такой идеальной дискретизации будет выглядеть так
Все измерения теперь представлены импульсами, причем длительность этих импульсов нулевая. Да, это теоретический (и математический) предельный случай. С точки зрения математики, дискретизация описывается с помощью дельта-функции.
Менее очевидно, что это же относится к математическому описанию работы стробоскопа и обтюратора кинокамеры. Да, вот такая она, вездесущая математика. Просто мы ее обычно не замечаем за такими обыденными вещами.
В общем случае, временные интервалы не обязаны быть одинаковыми. Если временные интервалы не постоянны, то дискретизация называется неравномерной. Вы наверняка слышали о переменной частоте дискретизации.
С практической точки зрения важно, что мы при дискретизации задаем моменты времени, когда измеряется мгновенное значение величины. При этом на измеренное значение не накладывается никаких ограничений. Можно сказать, что мы накладываем временнУю шкалу. У нас дискретно время.
Очень коротко о погрешности дискретизации
Насколько критична такая замена аналогового характера изменения измеряемой величины (для нас сегодня, напряжения) на дискретный? Да, это неизбежно ведет к потере точности. И это может быть критичным, например, если измеряемая величина используется для аналогового регулирования или для вычислений с использованием АВМ. Но во многих случаях результаты измерений нужны именно дискретные. Ведь считывая показания прибора, даже аналогового, с его шкалы мы уже получаем дискретные значения.
При дискретизации у нас выпадают все промежуточные мгновенные значения. Мы может восстановить их, в общем случае, используя аппроксимацию. Разумеется, аппроксимация приведет к погрешности восстановления промежуточных значений. Пожалуй, наиболее известно восстановление формы сигнала основанное на теореме Котельникова (Найквиста-Шеннона). Мы не будем сегодня даже касаться вопросов восстановления исходного сигнала. Но нужно учитывать, что теорема Котельникова накладывает ряд условий для полного восстановления исходного сигнала.
Поэтому дискретизация неизбежно вносит дополнительную погрешность в измерения. И именно об этом говорит приведенный в "почти лирическом отступлении" пункт 7.16, в котором говорится о динамической погрешности. Как можно эту погрешность минимизировать, какие составляющие динамической погрешности существуют, будем рассматривать отдельно. Уже гораздо ближе к практике.
Заключение
Дискретизация, и квантование, которое мы сегодня даже не упоминали, лежат в основе цифровых методов обработки сигналов. Тем не менее, дискретизация применима и вне цифровой обработки сигналом, для динамических измерений непрерывно изменяющихся величин.
О дискретизации и цифровой обработке можно говорить очень долго, это поистине неисчерпаемая тема. Но у нас сегодня был лишь очень маленький вопрос ее применения для динамических измерений. И в цикле статей о метрологии мы не будем касаться других вопросов связанных с дискретизацией.
Следующая статья будет посвящена практическим вопросам связанным с динамическими измерениями. Мы посмотрим, как дискретизация воплощается в устройствах выборки-хранения. И это по прежнему не будет касаться цифровых измерительных приборов. Хотя и будет шагом в этом направлении.