Взрослые забыли о том, как думали сами, когда были детьми.
Жан Пиаже, швейцарский детский психолог,
создатель теории когнитивного развития
Все взрослые сначала были детьми, только мало кто из них об этом помнит.
Антуан де Сент-Экзюпери, французский писатель
Заседание математического кружка началось с того, что руководитель, Игорь Петрович, достал из тумбочки высокий стеклянный стакан, налил туда воды из электрочайника и развернул ядовито-жёлтую обёртку бульонного кубика:
– Что-то я проголодался нынче... Заварю-ка я себе химического бульончику! Написано, что с грибами! Никто не хочет?
В классе повисла мёртвая тишина – всем показалось, что кубик с упал в стакан с оглушительно громким «бульком». Игоря Петровича знали в школе все, он слыл человеком строгим, но справедливым, иногда чудаковатым – но чтобы ни с того ни с сего заваривать на занятии «Галину Бланку»? Первой не выдержала Наташа из 9 «Б», кашлянув и произнеся голосом строгой мамы:
– Игорь Петрович! Бульон из кубиков – это же очень вредная еда! Вы себе язву желудка хотите?
– А почему вы в столовку не сходили? – добавил светловолосый семиклассник Лёша Коленцев.
– Там у Варвары Петровны сегодня рассольник со сметаной и пельмени, во! – кивнул и поднял вверх большой палец Артём Шевырёв из 8 «А».
Игорь Петрович сделал вид, будто бы ничего не расслышал:
– Только, знаете, пить бульон из стакана это как-то слишком уж современно. Я человек старой закалки, так что перелью-ка я это чудо химической промышленности в тарелочку!
И в самом деле, достал из всё той же тумбочки стеклянную тарелку и аккуратно, чтобы не забрызгать стол, вылил бульон из стакана.
Густой общий шёпот шелестел по классу, будто ветер. Вдруг Игорь Петрович сцепил пальцы, вывернул их так, что громко хрустнули костяшки, и хитро спросил, обращаясь к ребятам:
– А скажите-ка, разновозрастные вы мои друзья, где бульона больше – было в стакане или стало в тарелке? Рук можете не поднимать, мы не на уроке всё-таки...
Первой успела Нина Ларина:
– Игорь Петрович! Если с вами всё в порядке и вы просто нас подкалываете, тогда бульона не может стать «больше» или «меньше» от того, откуда и куда вы его перельёте.
А сидящая рядом с ней семиклассница Кирилычева вдруг задорно добавила:
– Это по-научному называется «закон сохранения бульона»!
Тут заулыбались и засмеялись абсолютно все, включая учителя.
Игорь Петрович вышел к доске, довольно кивнул:
– Молодец, Наташа! И ты, Нина, тоже! Кому-то из вас по двенадцать-тринадцать лет, кому-то по шестнадцать-семнадцать, но все вы уже достаточно взрослые для того, чтобы понимать: оттого, что я перелью бульон из стакана в тарелку, его не сможет стать больше. В науке это называется «принципом сохранения», и это – одна из главных составляющих взрослого логического мышления, того, что мы обычно называем «взрослым здравым смыслом».
Поднял руку Глеб Спиридонов:
– А что, разве бывает и детский здравый смысл?
– Ещё как бывает! – ответил математик. – Почти сто лет назад швейцарский учёный Жан Пиаже сумел доказать, что у детей где-то до четырёх лет, а иногда и до шести-семи, этот самый «принцип сохранения» не работает. Скажем, если я покажу трёхлеткам кусок пластилина, а потом разделю его на две части, и спрошу – больше стало пластилина или меньше? – они ответят, что больше. Ну как же – был один кусок пластилина, а стало два!
Когда детям в этом возрасте показываешь одно и то же количество супа, налитое в стакан и в тарелку, они – в отличие от вас! – твёрдо убеждены, что в тарелке супа больше – потому что тарелка визуально «больше», «шире» стакана... Между прочим, такое вот детское мышление иногда сохраняется и у отдельных взрослых – помните сказку про жадного богача, который хотел, чтобы ему сшили семь шапок из одной шкурки?
Кружковцы слушали очень внимательно. Становилось всё интереснее.
– Однако ближе к школе «средний», «нормальный» маленький человек уже начинает «принцип сохранения», как и все вы, чётко осознавать: если разделить кусок пластилина на два, пластилина не станет больше! Если разделить нечто на части или изменить у этого «нечта» форму, его не станет при этом меньше! «Больших семь шапок из овцы не выкроишь никак!». В физике этот принцип в конце концов привёл к открытию двух важнейших законов: закона сохранения материи и закона сохранения энергии. Кто-то из вас с ними уже знаком, кто-то ещё только будет проходить. Однако у нас всё-таки кружок математики, а не физики, поэтому следующий мой вопрос будет вот каким: а как вы считаете, существует ли «принцип сохранения» в математике?
– Конечно, существует! – уверенно ответил Артём. – Скажем, если десять разделить на пять, то получится два. А если два умножить на пять, то снова получится десять. Или если сперва отнять, а потом прибавить одно и то же число, то получится то же самое... То есть как с теми же кусками пластилина!
– Артём, умница, прекрасный пример. В арифметике «принцип сохранения» – это основа основ: противоположные арифметические операции, сложение и вычитание, умножение и деление, всецело подчиняются этому принципу! А следом за арифметикой – и в алгебре тоже. А если в геометрии, а?
Класс молчал. Учитель подошёл к доске и взял в руку маркер:
– Все вы, я убеждён, помните ещё с третьего класса формулу для вычисления площади прямоугольника S: надо длину одной стороны умножить на длину другой стороны, основание a умножить на высоту b. Надеюсь, никому это напоминать не надо?
Игорь Петрович нарисовал на доске прямоугольник, обозначил его стороны и написал формулу:
– Теперь я нарисую другой четырёхугольник, а именно параллелограмм, с основанием a и высотой b. Младшие у нас эту тему ещё не проходили, а вот старшие уже да. Как вычислить площадь S такой фигуры, о великовозрастные мои?
– Надо основание умножить на высоту! – ответил Женя Рябов.
– Молодец, помнишь! А как насчёт доказательства? – поинтересовался математик с совершенно невинным видом.
– Смилуйтесь, государыня рыбка, то есть, простите, Игорь Петрович! – страдальчески простонал Женя под всеобщее хихиканье.
– Так и быть, Рябов, смилуюсь! – учитель улыбнулся. – Младшие ребята, чтобы вы поняли, о чём идёт речь, я покажу вам доказательство этой формулы из учебника...
Пощёлкав кнопками ноутбука, математик вывел изображение на экран. По классу пронёсся разочарованно-унылый гул.
– Игорь Петрович, вот даже не напоминайте! – почти умоляюще сказала Нина.
– А меня сейчас вырвет... – пошутил с задней парты Коля Тихонов.
– Спокойствие! Расслабьтесь! У нас сейчас не урок, а кружок! Дружно забыли пока про параллелограмм и посмотрим вот на такую вот геометрическую фигуру... жуткую такую крякозябру... – учитель начал быстро чертить.
– Чему равна её площадь? Кто знает формулу? Кто знает как её вывести?
Повисла тишина.
– Ещё древний философ Цицерон говорил, что молчание – это знак протеста! – Игорь Петрович сел к себе за стол. – Такого никто из вас не проходил, даже одиннадцатиклассники, я знаю. Но торжественно обещаю и клянусь, что всего лишь через тридцать минут все вы – даже самые младшие! – с лёгкостью напишете мне эту формулу, и не только её, и главное – будете не помнить, а понимать! Безо всяких там головоломных доказательств. А поможет нам в этом всё тот же самый здравый смысл, то есть «принцип сохранения»!
Математик взял со стола вырезанный из бумаги прямоугольник:
– Смотрите! У меня в руках прямоугольник. Я беру ножницы и аккуратно отрезаю от него угол:
– Общая площадь этих двух частей от разрезания изменилась?
– Нет! – прозвучало сразу несколько голосов.
– Именно. Работает «принцип сохранения», так? Теперь я отрезанный угол перетаскиваю на другую сторону и прикладываю к оставшейся части:
– Что получилось, какая фигура?
– Паралеллограм!
– А площадь?
Секундная пауза.
– Не изменилась! Та же самая! Неизменная! – ещё более громкий разноголосый хор.
– Теперь с точностью до наоборот: я беру со стола бумажный параллелограмм, – сказал Игорь Петрович, – и отрезаю от него угол – точно так же:
– Общая площадь при этом, как вы все уже поняли, не меняется:
– Отрезанный угол перетаскиваю на другую сторону, прикладываю – и получаю прямоугольник:
– Вывод? Для вычисления площади справедлива всё та же самая формула, S = a x b, то есть площадь параллелограмма равняется площади прямоугольника с теми же самыми основанием и высотой... Теперь – наша «хитрая» фигура...
Руководитель кружка неторопливо взял со стола ту самую «крякозябру», сделанную из бумаги. Неожиданно Вероника вскочила со стула и буквально затрясла поднятой рукой:
– Игорь Петрович, я поняла! Вы сейчас разрежете её ножницами – и тогда один край подойдёт к другому! Как ключ к замку! И получится тоже прямоугольник, правильно?!
– Недурно! – подтвердил математик. – Всем понятно, что Вероника нам сейчас объяснила? Разрезаем нашу ультра-фигуру ножницами поперёк...
– Складываем две половинки...
– Оп-ля! То есть получается, что для этой ультра-фигуры справедлива всё та же самая формула: S = a x b, основание умножить на высоту!
Даже самые старшие ребята выглядели немножко обескураженно.
– Однако это только начало. Потому что прямоугольник – всё-таки геометрическая фигура очень простая, «удобная». Но если мы возьмём фигуру более сложной формы? Например, вот такую вот? – тут учитель нарисовал на доске нечто, больше всего напоминающее язык пламени:
– Можно ли вот такую фигуру хитро разрезать так, чтобы понять, чему равняется её площадь?
Кружковцы с интересом разглядывали чертежи.
– Вы наверняка догадываетесь, что это сделать можно. Но вот как? А вот как! Чтобы было нагляднее и понятнее, я пока вернусь к нашему прямоугольнику. Снова разрежем его на две части, только уже по горизонтали, вот так:
– Если мы сдвинем эти две части друг относительно друга, площадь у нас не изменится, правильно?
Тогда каждую из этих двух частей я снова разрезаю по горизонтали пополам...
– Сдвинем их друг относительно друга... Изменится ли площадь?
Ребята дружно замотали отрицательно головами.
– Разрежем ещё раз и потом сдвинем!
– Что получилось?
Первым был Коля Тихонов:
– Получился параллелограмм... Ну, почти... Но если бы вы разрезали так всё дальше и дальше, а потом сдвинули ровно, то получился бы сто процентов параллелограмм!
– Блестяще, коллега! Смотрите, к чему мы пришли, применяя наш здравый смысл, то есть «принцип сохранения»: если разрезать некую фигуру на очень тонкие параллельные «слои» и произвольно сдвинуть эти слои друг относительно друга – или даже поменять местами! – то общая площадь у нас никак не изменится! Именно поэтому и совпадают площади у параллелограмма и прямоугольника с одинаковыми основаниями и высотами! Возьмём теперь треугольник, вот такой:
– Его площадь равняется половине произведения основания на высоту. Кто-то из вас эту формулу уже знает, кто-то нет – это в данный момент не важно! Важно то, что если мы разрежем этот треугольник примерно так же, как мы разрезали наш прямоугольник, и сдвинем слои относительно друг друга, то получим... – и тут все увидели тот самый «язык пламени»:
– То есть площадь этой очень сложной фигуры тоже равна просто половине умножить основание на высоту, и всё? – тихо спросил Женя.
– Да. Просто, как один плюс один, не правда ли?
Учитель, не стирая с доски, сел на свое место:
– В геометрии этот метод принято называть «принципом Кавальери», по имени итальянского математика Бонавентуры Кавальери.
Хотя на самом деле Кавальери не является первооткрываетелем этого метода – его применял ещё сам Архимед, так что этому методу на самом деле уже больше двух тысяч лет! Архимед использовал этот метод для успешного вывода формулы объёма шара, вписанного в цилиндр. Он так гордился этим открытием, что даже завещал на своей могиле установить не хвалебную эпитафию, не собственные имя, портрет или мраморную статую, а просто чертёж – шар, вписанный в цилиндр, – и над ним ту самую формулу:
– Это как игровую ачивку себе на аватарку вместо фотки повесить! Во как чел по математике залипал! – тихо сказал Ваня, вроде в шутку, но с уважением. Раздался негромкий смех. Игорь Петрович продолжил:
– Про принцип Кавальери есть и другой анекдот. Бонавентура Кавальери был священником, монахом, профессором математики, настоятелем монастыря, в общем, человеком очень уважаемым и почтенным. Но при этом чуть ли не с самого детства ну очень любил баловаться игрой в карты! И саму идею «принципа Кавальери», или, как тогда было принято говорить, «геометрии неделимых», ему подсказала именно колода карт! Как-то раз Кавальери сидел с колодой карт в руках и скучал. Играть было не с кем. Он посмотрел на колоду сбоку – по форме это был прямоугольник. Кавальери сдвинул карты – и увидел параллелограмм! Вот тут-то он и сообразил, что «карт не стало ни больше, ни меньше, их осталось столько же, а значит, площадь параллелограмма равняется площади прямоугольника с теми же высотой и основанием».
– Вместо колоды карт можно взять стопку тонких журналов! – подсказала Вика Синельникова.
– Конечно! Причём стопка журналов (как и колода карт, впрочем) – это же фигура объёмная, трёхмерная! Так что принцип Кавальери можно легко использовать для вычисления не только площадей, но и объёмов сложных трёхмерных фигур – самых разных пирамид, цилиндров, призм, параллелепипедов и так далее!
– Игорь Петрович, – спросил Коля, – я только одного не понимаю. Почему тогда в учебнике геометрии доказательство формулы площади параллелограмма такое муторное? Если есть такое простое и наглядное, как этот самый «принцип сохранения», то есть, я имею в виду принцип Кавальери?
– Сказать по правде, ребята, я сам не очень хорошо понимаю почему. – доверительно ответил математик. – Доказательство в учебнике вроде бы правильное, строгое, точное, но написано таким тяжёлым языком и настолько «неживое», что у меня у самого кровь из глаз, когда я его читаю. Помните книжку «Алиса в стране Чудес»? Там была такая Герцогиня, которая любила всё простое и понятное переделывать в запутанное и непонятное, сейчас найду, я наизусть такое ни в жизнь не запомню... – математик быстро достал из ящика стола книжку и открыл закладку.
– А какова мораль? – спросила Герцогиня. – Мораль такова: будь всегда сама собой. Или проще: не будь такой, какой ты кажешься таким, которым кажется, что такая, какой ты кажешься, когда кажешься не такой, какой была бы, если бы была не такой!
Кружковцы дружно расхохотались. Артём Шевырёв простонал:
– Я понял авторов нашего учебника по геометрии! Им слава этой самой Герцогини спать не даёт!
– Грустно, но, в общем, верно подмечено! – кивнул учитель. – Тут тебе внутри доказательства всё в кучу: и два треугольника, и трапеция, и признаки равенства прямоугольных, и углы при пересечении, и секущая, и куча заглавных латинских букв... Взрослый запутается, не то что восьмиклассник... А принцип Кавальери – он прост, понятен, логичен. Скажем, кто-нибудь из младших... Кто у нас из седьмого? Вот ты, Ваня Драбко, вы же формулу цилиндра по математике совсем-совсем не проходили?
– Нееет... – осторожно потянул Ваня.
– А формулу наклонного цилиндра тем более не проходили?
Ваня только помотал головой. Учитель подошёл к Ваниной парте и поставил перед мальчиком столбик из десятирублёвых монет:
– Вот тебе цилиндр!
Потом осторожно, чтобы не рассыпать, сдвинул монетки друг относительно друга:
– А вот тебе наклонный цилиндр! Что можно сказать про их объёмы? Безо всяких там формул?
Драбко задумался, а потом даже прищёлкнул пальцами от удовольствия:
– Игорь Петрович, это тогда принцип Кавальери! Оба цилиндра получается составлены из одних и тех же монеток, то есть из одних и тех же слоёв, а значит их объёмы одинаковые!
– Гениально, седьмой класс! – учитель собрал монетки и вернулся к доске.
– Между прочим, Кавальери был большим другом Галилео Галилея, вёл с ним обширную переписку. И Галилей о Кавальери был высокого мнения, он называл его «новым Архимедом». И многие мысли Кавальери – особенно «принцип сохранения» – Галилей использовал в своих исследованиях. Кто помнит рассказ про Галилея и Пизанскую башню?
– Это когда Галилей бросал вниз разные предметы – мушкетные пули, пушечные ядра и всякое такое – чтобы доказать, что все тела – и лёгкие, и тяжёлые – падают с одинаковой скоростью? – спросил Женя Рябко.
– Ага, она самая. Сказать по правде, ребята, не очень-то я верю в эту историю. Ну просто представьте себе: сперва Галилей по длиннющей лестнице, сипло дыша, проклиная ревматизм и другие болячки, тащит наверх башни тяжеленные пушечные ядра. Потом начинает кидать их вниз, а внизу уже собралась толпа любопытных – чего это там затеял знаменитый профессор Галилео Галилей? Ой, да он чего-то там бросает, ну-ка дайте подойти поближе! И тут ядро неаккуратно падает какому-нибудь зеваке на ногу! А Галилей сверху ещё кричит: «Ребята, вы там как, случайно разницу в скорости падения не заметили?».
Кружковцы от смеха попадали на парты. Дождавшись, пока веселье уляжется, математик продолжил:
– На самом деле для того, чтобы доказать тот факт, что лёгкие и тяжёлые предметы (при отсутствии сопротивления воздуха) должны падать с одной и той же скоростью, Галилей воспользовался всё тем же самым принципом сохранения, «разрезания на бесконечные». Этот «мысленный эксперимент» очень прост: представьте себе, что у нас есть пушечное ядро с массой M. Если мы разрежем его на две половинки, то получим два пол-ядра с массой M разделить на два, так? Предположим, что лёгкие тела падают медленнее тяжёлых – чем легче тело, тем медленнее его падение... Но тогда две половинки должны падать медленнее, чем целое ядро, так? А что будет, если мы склеим эти две половинки клеем или свяжем тонкой невесомой ниточкой? А если мы разрежем ядро на четыре части, на двадцать, на тысячу? В итоге получится, что ядро «из частей» должно падать одновременно и медленно, и быстро – что, опять-таки, противоречит всякой логике и здравому смыслу! И решается эта задачка «в уме» только одним способом: все тела должны падать с одинаковой скоростью. Так что лезть на Пизанскую башню и кидать оттуда тяжёлые предметы совершенно необязательно.
Учитель посмотрел на часы.
– Подведём итоги, ребята. Принцип Кавальери, к сожалению, в современную школьную программу не входит – и, с моей точки зрения, совершенно зря. С его помощью очень легко выводятся практически все «школьные» геометрические формулы для объёмов и площадей. Плюс принцип Кавальери – открою ещё один секрет! – является как бы «стартовой площадкой» к такому интереснейшему понятию, как определённый интеграл... Но про интегралы мы с вами поговорим уже в другой раз, а на сегодня с вас достаточно. Само собой, если дома, в библиотеке, в Интернете или где-то ещё вы найдёте что-нибудь интересное по теме «принцип Кавальери» – готовьте сообщения, несите, будем обсуждать! А сегодняшнее заседание нашего кружка я объявляю закрытым!
Ребята зааплодировали.
– Игорь Петрович! – подняла руку Нина. – Но... как же ваш химический бульон?
– Бульооон? – протянул математик в ответ и хитро подмигнул. – Мне кажется, друзья, вы правы: уж больно много в нём всякой синтетики и химикалий. Да и остыл, совсем противно... Так что вылью-ка я его в раковину и последую вашему совету насчёт столовки. Что там сегодня у Варвары Петровны, говорите? Пельмени и рассольник со сметаной?
Автор: Александр Червяков
Читайте также статьи этого автора:
Приключения секретной формулы (математический детектив)
На сайте Почты России открыта подписка на журнал "Лучик" на второе полугодие! Полистать номера журнала "Лучик" можно здесь.