Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу вернуться к вопросам бесконечности, и, конечно, здесь не обойтись от её первого и настоящего повелителя - великого немецкого математика Георга Кантора.
Актуальным вопросом, который поглощал внимание Кантора, было существование бесконечностей, которые не равномощны друг другу.
Напомню, что два множества являются равномощными, если между их элементами можно установить биекцию - взаимно-однозначное соответствие.
Другое важное понятие, которым оперировал Кантор, - счетные множества. Множество называется счетным, если его можно занумеровать натуральными числами, хоть и бесконечным их количеством. Главный вопрос: существуют ли такие множества, которые нельзя занумеровать натуральными числами? Другими словами, существуют ли несчетные множества, есть ли бесконечности, которые больше других?
Изящный фокус, который провернул Кантор заключался в доказательстве того, что бесконечных последовательностей. состоящих только лишь из 0 и 1, больше, чем натуральных чисел.
Для этого Кантор построил такую таблицу:
В этой табличке каждой строчке соответствуют несовпадающие последовательности 0 и 1. Теперь предположим, что в таблице представлены ВСЕ возможные бесконечные последовательности из 0 и 1, т.е. их можно занумеровать, а значит их совокупность является счетным множеством.
Кантор берет первый элемент из первой, второй элемент из второй, третий - из последовательности с номером три, и т.д. Затем составляет из них новую последовательность:
И вот фокус: он заменяет каждый элемент последовательности на противоположный:
Удивительно, что эта "обратная" последовательность нигде не встречается в таблице. Действительно, она, как минимум, отличается на один элемент от всех представленных в таблице. Значит, наше предположение о полноте таблицы неверно, следовательно мы не можем занумеровать все такие последовательности (установить биекцию с натуральными числами), а значит их множество - бесконечно-несчетное, большее, чем бесконечное множество натуральных чисел!
Важнейшим выводом из этой теоремы является несчетность множества всех вещественных чисел ℝ. Ведь каждое вещественное число можно представить в двоичной системе счисления, т.е. сопоставить его одной из последовательностей (нужно будет только добавить запятые).
- Спасибо за внимание!