Продолжаем обобщать и систематизировать материал по теме «Обыкновенные дроби». В предыдущей статье мы начали с обзора всей темы «Обыкновенные дроби». Сейчас рассмотрим одну из частей этой темы «Сравнение дробей».
В этой части 4 основных пункта:
- равенство дробей,
- сравнение дробей с одинаковыми знаменателями,
- сравнение дробей с разными знаменателями,
- сравнение смешанных чисел.
В школе о сравнении дробей рассказывается понемногу в разных классах в разных темах. Попробуем собрать весь материал воедино и систематизировать его.
_____________________________________
1. Равенство дробей.
На вопрос «Какие дроби называются равными?» не часто можно получить уверенный ответ. Который кроется в самом понятии дроби.
Рассмотрим дроби.
Они равны. Почему?
Если изобразить каждую из предложенных дробей станет видно,
что все они занимают одинаковую часть от круга.
Отсюда определение: "Дроби равны, если они обозначают одну и туже часть от целого".
Существует минимум два способа определить равенство дробей:
- Сократить обе дроби до несократимых.
- Использовать основное свойство пропорции: "произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов". По-другому это свойство называют правилом креста.
Подытожим.
_____________________________________
2. Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями.
Правило:
"Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше."
Почему?
Вспомним, что знаменатель дроби показывает на какое количество частей (долей) разделено целое, а числитель количество взятых долей.
Если разделить целое на несколько одинаковых кусочков. То становится понятно, что чем больше количество кусочков, тем больше часть от целого.
Итак.
_____________________________________
3. Сравнение дробей с разными знаменателями.
Сравнение дробей с разными знаменателями обычно сводится к общему случаю, когда дроби приводятся к одному знаменателю, а затем применяется правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями (см. п. 2 этой статьи). Но иногда приводить к общему знаменателю не удобно и можно поступить проще.
Например, когда числители у таких дробей одинаковые, или одна из дробей правильная, а другая неправильная.
Рассмотрим эти три случая:
-- Если у дробей с разными знаменателями числители равны.
В этом случае действует правило: "Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше."
Почему так?
Разделим два одинаковых целых торта: один на 4 части, другой на 8. Сразу видно, что одна четвертинка больше, чем одна восьмушка. Получается, чем больше знаменатель, а значит на большее количество частей делится целое, тем меньше дольки получаются. И тогда понятно, что одинаковое количество больших долек (2/4) будет больше, чем такое же количество маленьких (2/8).
-- Сравнение правильных и неправильных дробей.
Правильная дробь - это дробь у которой числитель меньше знаменателя.
Так как числитель - это число взятых частей от общего количества долей в целом, значит правильная дробь всегда меньше чем одно целое, то есть 1.
Неправильная дробь - это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Значит необходимо взять все доли из целого или больше долей чем есть в одном целом, то есть добавить кусочки из другого целого.
Следовательно неправильная дробь всегда больше или равна одному целому, то есть 1.
Получается, если любая правильная дробь меньше единицы, а неправильная больше или равна ей, тогда правильная будет всегда меньше неправильной.
Такой же принцип можно использовать сравнивая дроби с половиной (с 1/2).
Понимая, что дробь у которой числитель меньше половины знаменателя, будет меньше 1/2, а дробь у которой числитель больше половины знаменателя, больше одной второй. Соответственно первая дробь будет меньше второй.
-- Общий случай для дробей с разными знаменателями.
Как уже писалось выше. Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями нужно:
1. Привести дроби к общему знаменателю.
2. Применить правило сравнения дробей с одинаковым знаменателем.
Обобщим.
_____________________________________
4. Сравнение смешанных чисел.
Смешанное число состоит из целой и дробной частей. Поэтому для сравнения смешанных чисел:
1. сравниваем целые части, больше то число, у которого целая часть больше. А если целые части равны, тогда
2. сравниваем дробные части. Больше та дробь, у которой дробная часть больше.
_____________________________________
Еще одно полезное замечание для упрощения сравнения дробей. Прежде чем сравнивать дроби сократите их до несократимых.
А теперь объединим материал всей статьи в одну общую схему.
Тренажеры и упражнения по этой теме в ближайшее время будут размещены в группе ВК https://vk.com/vashrep