Самое простое решение вековой задачи, которую победил Эйлер. Базельская проблема и её неожиданное применение

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу вернуться к известной математической задаче, которая носит наименование "базельской". Дело в том, что её придумал в 1689 году профессор из Базеля Якоб Бернулли, а решить смог только в 1735 году легендарный Леонард Эйлер.

Задача состоит в нахождении значения ряда обратных квадратов:

Сам Эйлер сначала привёл решение, которое подверглось критике по причине некорректности некоторых моментов. Уже потом он опубликовал строгое изложение решения, а затем таких решений было показано огромное количество подходов.

Однако самым простым мне показался метод, использующий разложение периодических функций в ряд Фурье.

Будем рассматривать разложение в ряд Фурье функции х². Учитывая, что функция четная, мы будем вычислять только два из трех коэффициентов.

Проинтегрировали по частям два раза и получили коэффициенты. Записываем итоговое выражение для разложения и подставляем x = π:

Одно из самых удивительных и красивых приложений ряда обратных квадратов в том, что через него можно вычислить вероятность того, что случайная дробь m/n будет несократимой.

На сцену выходит Леонард Эйлер

Эйлер подбирался к решению этой проблемы чисто эмпирическим путем: рисовал окружность с центром в начале координат и искал отрезки, которые не проходят ни через одну целую точку. Такие точки будем считать несократимыми:

Зеленый отрезок идет к точке (2,2). Очевидно, что дробь 2/2 сократима. Красные отрезки, в качестве примера, ведут в точки (1,2), (1,-3), (-2,1), образующие несократимые дроби

Если подсчитать отношение количества несократимых точек к общему количеству (за исключением начала координат), то получим 0,(6). Если увеличивать радиус окружности, то эта величина имеет предел, равный примерно 0,608.

Но что значит "несократимая дробь"? Исходя из основной теоремы арифметики, которая постулирует единственность разложения натуральных чисел на произведение простых, это значит:

Пример: вероятность делимости х на 3 равна 1/3, вероятность делимости y на 3 - тоже одна треть. Для пары x/y вероятность того, что дробь сокращается на 3, равняется 1/3*1/3 = 1/9. Обобщая по индукции получаем формулы выше

Используя своё знаменитое тождество Эйлер показал, что:

Таким образом, вероятность того, что выбранная пара целых чисел образует несократимую дробь, обратна сумме обратных квадратов и равна примерно 60%! Удивительный вывод из направления математики, которое называется геометрия чисел. Спасибо за внимание!

• TELEGRAM и Вконтакте- там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.