Ничего странного не замечаете в этой формулировке? Для большинства людей это обычное название какого-нибудь социалистического государства, вроде современной Северной Кореи или Южного Йемена до 1990 года. Английское People's Democratic Republic тоже не кажется странным. Меня такая формулировка тоже не коробила, пока внутренний этимолог вдруг не шепнул: эй, да это ж своего рода этимологическая фигура!
И правда, это сочетание включает на первый взгляд три совершенно разных элемента: народный, демократический и республика. Только вот элементы эти означают почти одно и то же.
Народ. Это слово хорошо известно в славянских языках. От праславянского слова *narodъ происходят украинское на́рід, народ, белорусское народ, болгарское народ, македонское на́род, сербское на́род, хорватское narod, словенское narod, словацкое národ, чешское národ, польское naród. Очевидна связь этого слова с *rodъ "род"; ср. латышское rads "родственник; сородич".
Демократия. Со школы нам внушают, что это политический режим, который придумали древние греки (точнее - афиняне). Да, Греция - родина многих вещей и явлений. Греция - это также родина многих слов, которыми мы сегодня пользуемся как своими. Демократия - это слово, которое через европейские языки и латынь пришло из древнегреческого δημοκρατία, где первая часть δῆμος означает "страна; народ", а вторая часть κράτος - "сила, могущество; власть". Всё вместе - "народовластие". Считается, что слово δῆμος восходит к праиндоевропейскому корню *deh₂- "делить; разделять"; семантически обосновывается тем, что "страна" - это отдельная от всех остальных стран часть земли, очерченная определёнными границами.
Республика. И снова история, пятый класс. На этот раз древние римляне, изгнавшие своих царей, изобрели новую форму правления, которая учитывала бы интересы народа. Хотя мы-то знаем, что прежде всего блюлись интересы патрициев. А впрочем, далеко ли мы ушли... Латинское rēspūblica, которое известно многим языкам, раскладывается на rēs "вещь; дело" и pūblica, от pūblicus "народный"; родственно populus "народ", иногда сравнивают с plēbs "народ; плебс".
Итак, народно-демократическая республика, если рассматривать это сочетание с точки зрения внутренней формы, - это "народно-народовластное дело народное". Теперь живите с этим.