Задача 1.4
Продолжаем разбор задачек Понарина
Так же начнем с рисунка и сразу же мысленно обозначим рабочий треугольник
Прежде чем решать далее, давайте вспомним, что центр вписанной окружности находится на пересечении биссектрис. Таким образом нам надо доказать, что биссектрисы треугольника ADE будут пересекаться на первой окружности
Для этого проведем биссектрису АО и достроим до прямоугольного треугольника, проведя радиус OD и обозначив угол DAO через α. Тогда угол AOD будет 90-α. Угол ADE так же 90-α
Теперь проведем DK и получим равнобедренный треугольник KDO, у которого угол DKO будет 45+0.5α
В таком случае мы можем выразить угол KDM через прямоугольный треугольник KDM. Но тогда угол ADK будет точно таким же. Т.е. прямая DK является биссектрисой и пересекается с АМ на первичной окружности. Следовательно, центр второй окружности будет принадлежать первой