В предыдущей статье, которая, без всяких сомнений, была очень скучной, мы больше занимались терминологическими вопросами. Увы, это было неизбежно. И не смотря на это мы еще даже не все виды погрешностей вспомнили. Но обещаю, что сегодняшняя статья будет не такой скучной. Тем не менее, если вы еще этого не сделали, прочитайте предыдущую статью
Какие типы погрешности еще не рассматривались нами? Абсолютная и относительная. Именно с ними мы чаще всего встречаемся в обычной жизни. Например, погрешность измерительных приборов, мультиметров, указывается именно как сумма относительной и абсолютной. Потому абсолютная и относительная погрешности заслуживают отдельной статьи. Пусть и не самой подробной.
Однажды, в стародавние времена...
Что бы уловить суть относительного и абсолютного давайте опять погрузимся в древние времена некоторого выдуманного мира. В этом мире мы будем работниками, которые получают деньги из казны за выполненную работу. Да, все банально, скучно и буднично.
Деньги выдает казначей. Но ведь казначей тоже работник. А значит, и он должен получать деньги за свою работу. Казначею полагается 5 монет с каждого работника, которому он выдает деньги. И эти 5 монет он берет из выдаваемых денег. Такой своеобразный "сбор за выполнение финансовых операций".
Количество монет, которые работник заработал и ожидает получить, назовем ожидаемым. Количество монет, которые работник получит на самом деле, назовем реальным.
Таким образом, каждый работник получит на 5 монет меньше. И это не зависит от того, сколько монет ему будет выдано. Разница между ожидаемым и реальным, не зависящая от ожидаемого, будет абсолютной.
Однако, правитель этого выдуманного мира берет с работников налог, который тоже казначей забирает из выдаваемых работнику денег. Но он кладет его не в свой карман, а возвращает в казну. Однако, этот налог берется немного по другому. Из каждых 10 выдаваемых монет казначей забирает в казну 1 монету.
На сколько монет меньше получит работник из-за налога? Мы можем это сказать только зная, сколько монет ему причиталось изначально. Разница между ожидаемым и реальным, зависящая от ожидаемого, будет относительной.
Например, работник заработал 1500 монет. Налог, каждая десятая монета, теперь может быть подсчитан. Он составит 150 монет. И 5 монет заберет себе казначей. А работник получит 1345 монет.
Да, этот пример, и иллюстрация, чрезвычайно далеки от метрологии. И, возможно, излишне упрошен и утрирован. Но ведь статьи читают и школьники, и те, кто школу давно закончил и уже смутно помнит, чему там учили.
Вот теперь мы можем сделать небольшой шаг в сторону метрологии, который поможет нам понять, откуда берутся эти относительные и абсолютные, уже именно погрешности. И, самое главное, как они между собой связаны.
Аршин мал алан
Был фильм советский фильм с таким названием. И хоть его сюжет не имеет никакого отношения к метрологии, собственно аршин, как мера длины, к метрологии имеет самое прямое отношение. По сути, это аналог той самой палки-измерялки, с которой мы уже встречались в статье
Более того, у уличных торговцев подобные меры длины (аршин, локоть, сажень, фут, метр) действительно были в виде реек соответствующей длины. Причем на них зачастую не было делений, или было всего несколько крупных. Сегодня подобные меры длины, портновские метры можно увидеть в магазинах торгующих тканями. Какое это отношение имеет к метрологии? Самое непосредственное!
Торговцу выгодно продать товара меньше, а денег получить больше. Да, это старо как мир. Но как торговец может обмануть покупателя, если отрезной товар отмеряется стандартной, по идее, мерой длины? Очень просто, достаточно немного, незаметно, укоротить эту меру. Отрезав от нее небольшую часть.
Аршин равнялся 28 дюймам (примерно 71 сантиметр). Для простоты предположим, что продавец отрезал 1 см и его "аршин" стал равняться 70 см. Такая мера будет давать ошибку, причем в пользу продавца. Но какова будет величина ошибки, выгоды продавца?
1 см, который был отрезан, это абсолютная ошибка. Однако, эта абсолютность отличается от той, что была в случае платы казначею. И нам важно разобраться, в чем именно отличие. Казначей брал 5 монет вне зависимости от того, сколько денег выдавал. И 1 см мы можем отрезать от любой меры, любой палки-измерялки. С этой точки зрения ошибка и является абсолютной.
Но дело в том, что мы отрезали 1 см от совершенно конкретной меры. Ведь аршин должен иметь определенную длину. И наша абсолютная разница длины 1 см становится еще и относительной разницей в 1/71 аршина. Разница в длине мер является той ошибкой, которую дает использование такой "модифицированной" меры.
Но самое для нас важное заключается в том, абсолютная ошибка размерность имеет. Мы приняли, что отрезан 1 см. Но мы могли сказать, что отрезано 0.4" (дюйма). Относительная же ошибка размерности не имеет. Для сантиметров 1/71 равняется 0.014. Для дюймов 0.4/28 тоже равняется 0.014. Относительная ошибка обычно выражается в процентах. И длина отрезанной части может быть записана как 1 см, 0.4", или 1.4% от аршина.
Но давайте посмотрим, что будет, если таким укороченным аршином будет отмерено, например, 15 аршин. Это 1065 см или 10.65 м. Но укороченный аршин даст нам всего 1050 см или 10.5 м. Разница в 15 см от правильной длины 1065 см будет опять равняться 1.4%. Величина ошибки, в сантиметрах, увеличилась. Но ведь и длина увеличилась. Причем во столько же раз.
Для покупателя же наоборот, выгодно получить больше товара, а денег заплатить меньше. Покупатель может придти в лавку торговца со своим аршином, который, например, на 1 см длиннее. Это будет давать ту же самую ошибку 1.4% на один аршин, но теперь в пользу покупателя.
Конечно, продавец откажется использовать меру покупателя. Но ведь покупатель может заявить, что его обманывают, ведь у двух аршинов разная длина. Что бы не доходило до драк, за правильностью используемых мер следили специальные чиновники. Причем это касалось не только мер длины, но и мер веса, и мер объема.
Относительная ошибка
Возвращаемся к метрологии. Пример с аршином важен для нас, так позволяет наглядно увидеть не самые простые метрологические понятия. Более того, этот пример показывает и один из источников погрешности измерений. Рассмотрим это подробнее.
Аршин, он же палка-измерялка, как вы помните, существует не только как физический предмет. Он же создает шкалу.
Об этом говорилось и в первой статье цикла, ссылку на которую приводил ранее.
Причем он одновременно является и шкалой, которая имеет 28 делений ценой 1 дюйм или 71 деление ценой 1 см, и делением шкалы, если применяется многократно, для измерения больших длин.
Но ведь 71 деление можно нанести и на правильный аршин, и на укороченный. Количество делений будет одинаково, но вот цена деления укороченного аршина будет на 1.4% меньше, чем у правильного. А если взять удлиненный аршин, то на 1.4% больше. Но ведь возможен и вариант, когда не деления наносят на меру, а сначала наносят неверные деления и уже по ним отрезают меру.
То есть, неточно нанесенные деления шкалы, расстояния между которыми содержат ошибку, дают тот же самый эффект, что и обрезанный или удлиненный аршин. Неточности нанесения шкалы даст нам относительную погрешность. Но это лишь один из источников относительной погрешности. И он влияет не только на линейки, как может показаться. Он влияет на абсолютно любую шкалу. И на шкалу весов, и на шкалу вольтметра, и на шкалу транспортира (угломера), и на шкалу мерной чащи для жидкостей, и на шкалу термометра. Причем это касается не только аналоговых, но цифровых шкал.
Как может быть неточным деление электронной цифровой шкалы? Очень просто. Конечно, каждый разряд собственно индикатора отображает лишь определенный набор цифр и неточность здесь возникнуть не может. Но давайте вспомним, что в цифровом приборе есть несколько шкал и индикатор это лишь последняя, видимая шкала. На индикатор выводится результат аналогово-цифрового преобразования. И вот это преобразование и может быть неточным.
Как вы помните, деление шкалы, которую создает АЦП, равно одному шагу, одному отсчету АЦП. И вес этого деления определяется, в частности, опорным напряжением. Неточность опорного напряжения и является той самой неточностью деления цифрового измерительного прибора. В последующих статьях мы более подробно рассмотрим различные способы аналогово-цифрового преобразования.
Но даже с абсолютно точной шкалой результат может содержать относительную погрешность. Давайте, для примера, рассмотрим обычный вольтметр. Мы его уже видели в первой статье цикла, а повторю иллюстрацию
Итак, у нас точный гальванометр и точная шкала. Но вот сопротивление балластного резистора немного отличается. Пусть оно будет больше расчетного, например, на 2%. В результате, ток через гальванометр будет на 2% ниже. И наш точный гальванометр, с не менее точной шкалой, покажет неверный результат. Этот результат будет иметь относительную ошибку. Неточность компонентов измерительного прибора является еще одним источником ошибок и погрешностей. В данном случае, относительной.
Я уже говорил, что погрешность измерения складывается из многих составляющих. И сейчас мы непосредственно с этим столкнулись. И будем сталкивать неоднократно во всем цикле статей. В данном случае, мы измеряем напряжение через измерение тока, который протекает под действием измеряемого напряжения И для этого метода измерения величина тока зависит от сопротивления балластного резистора. Поэтому погрешность сопротивления становится погрешностью измерения в целом. Даже, если все остальные компоненты идеальны и погрешности не имеют.
О влиянии методов измерения, как и о построении измерительных приборов, мы еще будет разговаривать в последующих статьях.
Абсолютная ошибка
В примере с казначеем мы видели абсолютную составляющую (плата казначею). Но в примере с аршином выяснили, абсолютная ошибка является одновременно и относительной. Означает ли это, что абсолютная ошибка просто невозможна? Конечно возможна.
Наиболее часто считается, что абсолютную ошибку дает неточная установка нуля. Например, такая
Это действительно дает абсолютную ошибку, которая не зависит и значения измеряемой величины. Но это лишь самый простой и очевидный случай. И он не объясняет, почему абсолютная погрешность, именно погрешность уже, а не ошибка, указывается для измерительных приборов даже имеющих автоматическую установку нуля.
Давайте попробуем во всем разобраться.
Определение ошибок измерительного прибора в эксперименте
В метрологической лаборатории можно проверить, насколько верные результаты измерения дает измерительный прибор. Для это выполняют ряд измерений различных эталонных (или точных) значений физической величины для конкретного диапазона измерений прибора. И на основании этих измерений строят график зависимости измеренных значений от истинных. Для абсолютно точного (и прецизионного) прибора этот график должен быть прямой линией проходящей через начало координат и идущей под углом 45 градусов
Однако, для реального измерительного прибора, неизбежное влияние погрешностей исказит график. Абсолютная погрешность приведет к тому, что линия не будет проходить через начало координат. Относительная погрешность приведет к тому, что угол будет отличаться от 45 градусов. А прочие составляющие погрешности (нелинейность, случайная погрешность) приведут к тому, что график не будет прямой линией.
Однако, эти отклонения будут плохо различимы, так как незначительны. Сделать их более различимыми поможет график зависимости абсолютной величины ошибки от истинного значения физической величины. Обратите внимание, это не абсолютная ошибка, а абсолютное значение ошибки
Точками показаны результаты измерений, как абсолютная ошибка, разность между измеренным значением и истинным. Красная линия это аппроксимация, усредненное значение ошибки. Как видим, в данном случае нет начального смещения нуля, абсолютной составляющей ошибок измерений.
Если же ноль установлен не точно, то график будет немного иным
Здесь аппроксимирующая прямая не проходит через начало координат, что и соответствует начальному смещению нуля.
Поскольку зависимость величины ошибки от истинного значения мы аппроксимируем прямой линией, давайте вспомним, что прямая линия описывается уравнением
Y = kX + b
И наша прямая не будет исключением. В нашем случае Y это Δ, а Х это истинное значение физической величины. Слагаемое b соответствует начальному смещению нуля. Абсолютной составляющей ошибки измерения. Коэффициент k, который определяет угол между горизонталью и прямой, вносит зависимость от Х, истинного значения. И соответствует относительной составляющей ошибки.
Таким образом, наша зависимость ошибки от истинного значения, имеет две составляющие, которые и входят в уравнение прямой, аппроксимирующей результаты измерений. Эти же составляющие указываются в паспорте прибора как погрешности
Однако, как мы видели в предыдущей статье, погрешность и ошибка не одно и тоже. Скоро мы и с этим разберемся. А пока вспомним, что мы хотели разобраться, как получается, что смещения нуля нет, но абсолютная составляющая ошибки есть. Ни из графиков, ни из уравнений этого пока не видно.
Но давайте посмотрим вот на такие результаты ошибок измерения
Точки, соответствующие ошибкам отдельных измерений, показывают, что смещения нуля нет. Но, если приглядеться, видна нелинейность в их расположении. И аппроксимацию нужно было бы проводить или кривой, или несколькими отрезками прямой. Однако, так обычно не поступают. А наиболее подходящая аппроксимирующая прямая оказывается не проходящей через начало координат.
Вот так и получается, что смещения нуля нет, но абсолютная составляющая в ошибках есть. Причиной тому нелинейность систематической погрешности.
Почему же ошибки приборов при обработке результатов измерений, экспериментов, аппроксимируют чаще всего прямыми? Дело в том, что если взять не один прибор, а большую партию одинаковых приборов, то у всех ошибки окажутся разными. Все приборы будут и точными, и прецизионными, но все таки величины ошибок при измерениях будут отличаться, пусть и не сильно. И даже один и и тот же прибор, но в несколько отличающихся условиях, даст разные значения ошибок.
От ошибки к погрешности, паспортной
Давайте вспомним, что в паспорте на измерительный прибор указывают не величины ошибок, а погрешности. Погрешность определяет не точное значение ошибки, а диапазон значений, в котором может находиться ошибка, точнее, границы этого диапазона.
Поэтому погрешность определяют не для одного прибора, а как совокупность ошибок для большого количества приборов.
Ошибки каждого отдельного прибора не должны быть больше ошибок, определяемых паспортной погрешностью. И именно это проверяется во время поверки.
Влияние нелинейности систематической погрешности, как и раньше, приводит к тому, что прямая погрешности (уже не ошибки, а именно погрешности) может не проходить через начало координат. То есть, погрешность будет иметь и абсолютную составляющую даже в отсутствии явного начального смещения нуля.
Погрешности и ошибки, такие разные
Таким образом, в паспорте измерительно прибора указываются максимальные значения возможных погрешностей конкретной модели, или партии, приборов. Причем это погрешности приборные, о чем мы скоро тоже будем говорить. Погрешность каждого отдельного прибора можно оценить в эксперименте, в метрологической лаборатории, как мы рассматривали ранее.
Погрешность паспортная, как и погрешность прибора, будут иметь две составляющие - относительную и абсолютную. Даже в том случае, если смещение нуля отсутствует. Кроме того, эти погрешности будут включать в себя не только систематическую погрешность, но и случайную. Все эти погрешности будут приборными. Случайная погрешность и приборная погрешность будут и темами последующих статей.
Погрешность измерения в целом будет состоять из нескольких составляющих погрешностей. Это и приборная погрешность, и погрешность метода измерения, и погрешность обработки. Мы все это рассмотрим в свое время.
При этом погрешность измерительной или лабораторной установки можно можно рассматривать и оценивать и как совокупность погрешностей систематической (относительной и абсолютной) и случайной. Без выделения погрешностей отдельных составляющих частей. И именно так рассматривается, например, погрешность омметра, который будет нашим подопытным в одной из последующих статей.
При измерении неизвестного значения физической величины мы можем рассчитать диапазон, в котором будет находиться возможная фактическая ошибка каждого измерения на основании измеренного значения и паспортной погрешности или реальной погрешности конкретного прибора. Поверка гарантирует, что фактическая ошибка не превысит паспортных значений.
При измерении эталонного значения физической величины мы можем определить, рассчитать, реальную фактическую ошибку для этого измерения. Именно реальную, а не вероятностную. Однако, разложить эту фактическую ошибку измерения на составляющие (относительную и абсолютную) можно лишь по совокупности измерений нескольких эталонных значений, а не одного единственного значения.
Заключение
Сегодня мы немного подробнее, но все равно упрощенно, рассмотрели две основные составляющие систематической погрешности - относительную и абсолютную. И разобрались, почему может быть абсолютная погрешность, когда "ноль не сбит". При этом мы не делали различий между аналоговыми и стрелочными приборами. И не разделяли приборы механические и электронные. Только немного, в очередной раз, посмотрели, где прячутся деления цифровой шкалы.