Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В математике найдется немного законов, которые столь же часто понимались превратно, как законы больших чисел. (Не слишком широко известно даже то, что существует несколько законов больших чисел.) Первый закон больших чисел был доказан Якобом Бернулли (1654–1705 гг.) в его книге, названной «Ars conjectandi» («Искусство предположений»), которая была опубликована только после смерти автора в 1713 г. Сам Бернулли не использовал понятия «закон больших чисел»; это название ввел Пуассон лишь в 1837 г.
По закону Бернулли, если правильную монету бросают n раз и при этом k раз выпадает герб, то при увеличении числа бросаний (n) отношение k/n (относительная частота выпадения герба) стремится к 1/2. Точнее, для произвольных положительных чисел ε и δ и достаточно большого n (зависящего от ε и δ) величина (k/n—1/2) меньше ε с вероятностью, превосходящей 1 – δ. Игроки часто уверены, что если правильная монета много раз падает гербом, то, согласно закону больших чисел, вероятность выпадения решки с необходимостью возрастает.
(В противном случае нарушалось бы то, что при очень большом числе бросаний выпадения герба и решки происходят приблизительно одинаково часто.) С другой стороны, у монет, очевидно, нет памяти, поэтому они не знают, сколько раз они уже выпадали гербом или решкой.
По этой причине шансы выпадения герба при каждом бросании равны 1/2, даже если монета уже выпала гербом тысячу раз подряд. Не противоречит ли это закону Бернулли?
Объяснение. По закону Бернулли при очень большом числе бросаний герб выпадает приблизительно столько же раз, сколько и решка, но вся суть в том, что означает «приблизительно». Игрок, который полагает, что разность между числом выпадений герба и числом появлений решки должна быть очень мала, ошибается, так как закон Бернулли утверждает лишь, что отношение числа выпадений герба к общему числу бросаний приближенно равно 1/2 (с вероятностью, близкой к 1) или, что то же самое, отношение числа выпадений герба к числу появлений решки приблизительно равно 1.
Другими словами, разность логарифмов этих чисел стремится к 0 (при увеличении числа бросаний). Если бы разность самих чисел была мала, то это противоречило бы отсутствию памяти у монет. Какой максимальной длины серию из гербов мы можем ожидать? При n бросаниях, если n = 100, можно ожидать серию в 6–7 гербов подряд, если n = 1000, можно ожидать 9–10 гербов подряд, и 19– 20 для n = 106 .
Следующую теорему доказали Паул Эрдеш и Альфред Репьи. При бросании монеты n раз серия из гербов длины log2n наблюдается с вероятностью, стремящейся к 1 при n–>∞. Этот факт очень полезен, когда нужно решить, описывает ли последовательность, составленная из двух символов, результаты бросания монеты или кто-то ее придумал, «тщательно» избегая включения длинных серий.
Из-за широко распространенного неправильного понимания закона больших чисел Бернулли многие люди не будут повторять один и тот же знак 7 или более раз подряд в последовательности из 100 знаков.
Источник: Габор Секей. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике
- Спасибо за внимание!