Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия "Простые ответы на трудные вопросы"
Здравствуйте, уважаемые любители математики!
У меня накопилось много вопросов от читателей. На некоторые из них отвечу.
Один из вопросов появился после статьи, посвященной логарифмическому неравенству с переменным основанием, и касался "метода рационализации".
Разберемся, что это за способ, и посмотрим, как его можно обосновать.
Классическое решение
Рассмотрим логарифмическое неравенство с переменным основанием и сначала решим его традиционным способом.
Для удобства нуль в правой части представим в виде логарифма от единицы.
Понятно, что подлогарифмическое выражение должно быть положительным. Основание логарифма тоже положительно, но не равно единице.
Далее можно записать неравенство для подлогарифмических выражений (так как основания логарифмов совпадают).
Если основание больше единицы, то знак неравенства сохраняется. Если же основание меньше единицы (но больше нуля), то знак неравенства меняется на противоположный.
Таким образом, получаем совокупность двух систем неравенств.
Двойное неравенство в первой системе запишем в виде двух обычных неравенств.
Во второй системе второе неравенство следует из третьего. В самом деле, если левая часть не меньше единицы, то, тем более, она больше нуля. Поэтому второе неравенство можно исключить из системы.
Чтобы лучше разобраться, как происходит уменьшение количества уравнений, ненадолго отвлечемся от решения примера и рассмотрим логарифмическое неравенство в общем случае.
В первой системе условие g(x)>0 следует из того, эта функция не меньше положительной функции f(x). Т.е. данное условие является избыточным, и его можно вычеркнуть.
Аналогично, во второй системе избыточным будет неравенство f(x)>0, так как оно следует из третьего и четвертого неравенств этой системы.
В рассматриваемом примере функция g(x) тождественно равна единице, условие g(x)>0 выполняется при любых значениях аргумента, поэтому количество неравенств меньше, чем в общем случае.
Продолжим решение логарифмического неравенства.
Находим корни соответствующих уравнений (вычисления не показываю, думаю, что читатели смогут найти их сами) и раскладываем квадратные трехчлены на множители.
Теперь можно отметить решение каждого неравенства на числовой оси и найти тот участок, где все множества пересекаются.
Следует обратить внимание на точку x=0. Она входит в решение последнего неравенства, но не входит в решение первого. Так как мы находим пересечение промежутков, то в решение системы неравенств эту точку не включаем.
Точно так же решаем вторую систему.
Объединяя найденные промежутки, получаем ответ.
"Метод рационализации"
Еще раз рассмотрим общий случай.
Как уже говорилось, неравенство эквивалентно совокупности двух систем.
На этот раз не будем вычеркивать лишние условия, зато преобразуем два последних неравенства.
Далее вспомним, что отношение двух выражений неотрицательно тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки; числитель при этом может обращаться в нуль.
Это позволяет два последних неравенства каждой системы записать более компактно.
Можно было бы, конечно, вместо отношения взять произведение этих же выражений, но тогда пришлось бы дополнительно указывать, что a(x) отлично от единицы.
Таким образом, получили систему рациональных неравенств, эквивалентную исходному логарифмическому неравенству. Поэтому данный способ многие называют "методом рационализации".
Кстати, это название - результат народного творчества. В математике такого термина нет. Поэтому используем кавычки.
Решим теперь неравенство из первой части этим способом.
Остается отметить решение каждого неравенства на числовой прямой и найти пересечение множеств.
Переход к новому основанию
Рассмотрим еще один способ решения.
Вспомним формулу перехода к новому основанию.
Преобразуем левую часть так, чтобы получились логарифмы по любому постоянному основанию. Например, можно использовать натуральные логарифмы.
Распишем это неравенство в виде совокупности двух систем.
Учитываем область определения и потенцируем.
Посмотрим внимательно на первую систему. Первое неравенство следует из третьего, а второе – из четвертого. Т.е. два первых неравенств можно не рассматривать.
В результате получилась та же самая совокупность, которая была при решении логарифмического неравенства первым способом.
В общем виде это выглядит так:
"Рационализация" на основе второго способа
Вновь вернемся к неравенству в общем виде.
Преобразуем его, используя свойства логарифмов.
Это неравенство эквивалентно совокупности двух систем.
На области определения эта совокупность равносильна следующей совокупности:
А ее, в свою очередь, можно записать в виде неравенства
Учитывая область определения, получим, что логарифмическое неравенство эквивалентно системе рациональных неравенств.
Последнее из неравенств, задающих область определения (a(x) не равно единице), не пишем, так как оно следует из того, что знаменатель не равен нулю.
Таким образом, еще раз обосновали "метод рационализации", но уже другим способом.
Небольшое объявление
На моем телеграм-канале вышел еще один материал, посвященный логарифмам с переменным основанием, точнее, построению графика логарифмической функции с основанием x.
Не забудьте подписаться на канал, если
- Вам интересны вопросы, которые здесь разбираются;
- Вам могут потребоваться консультации по математике (подробнее здесь).
Все статьи серии "Простые ответы на трудные вопросы"
О канале
#математика онлайн (простые ответы) #математика #егэ по математике #профильная математика #репетитор #репетитор по математике #онлайн-обучение #репетитор онлайн #егэ по математике #егэ математика профиль
