В самом простом виде, матрица А в виде размера mˣn - это прямоугольная таблица чисел,в котором m строк и n столбцов. А=(аᵢʲ)
Элементы, для которых i=j(a₁₁,a₂₂), образуют главную диагональ и называются диагональными.
Вырожденная матрица - матрица, определитель которой равна 0.
Рассмотрим, что можно делать с матрицами.
1. Сложение и вычитание
Первое, о чем нужно помнить, складывать и вычитать можно матрицы только одинаково размера. Результатом будет являться матрица такого же размера.
A+B=C. Для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно сложить их соответствующие элементы.
Пример.
Свойства сложения матрицы
- Свойство коммутативности: A+ B = B + A.
- Свойство ассоциативности: (A+ B) + C= A + (B + C).
- Свойство дистрибутивности: (A+ B) * C= AC + BC.
- При сложении матрицы А с нулевой матрицей, получается матрица А: А+0=А
5. При сложении А с противоположной матрицей (-А) сумма равна нулю: А + (-А) = О
2. Умножение матрицы на число
λА=В
Для того, чтобы умножить матрицу на число, надо умножить каждый элемент матрицы на это число.
Пример.
Свойства умножения матрицы на число
1. A × 1 = A - если матрицу умножить на единицу получится исходная матрица.
2. A × 0 = O - если умножить матрицу на ноль получится нулевая матрица
3. k × (n × A) = (k × n) × A, где A - матрица, k и n числа
4. (k + n) × A = k × A + n × A, где A - матрица, k и n числа
5. k × (A + B) = k × A + k × B, где A, B - матрицы, k число.
Произведение матриц
Возьмём матрицу А размером m ˣ n и матрицу В nˣk, перемножив, получим матрицу С размером mˣk.
A*B=C
Совпадение двух чисел n неслучайно, потому что мы элементы матрицы С определяем как сумму, стоящую в i-той строке матрицы А, на элементы стоящие в j-той столбце в матрице В, то есть:
Таким образом, количество столбцов в матрице А совпадает с количеством строк в матрице В.
Пример:
А*В ≠В*А и также, если перед нами два уравнения
А*Х= В и Х*А=В, то это два разных уравнения и решения у них разные
Х=А⁻¹*В и Х=В*А⁻¹
Единичные матрицы
Квадратные матрицы - это матрицы, в которых количество строк совпадает с количеством столбцов. Среди них отмечают единичную матрицу, ее обычно обозначают буковой Е, отличается от обычных матриц тем, что по диагонали стоят 1, а вне её 0.
Если мы умножим матрицу А на единичную матрицу, то снова получим матрицу А.
А*Е=А
Е*А=А
Обратимые матрицы
Матрица обратима, если она невырожденная. Обратная матрица вводится только для квадратной матрицы. Если А- обратимая матрица, то обратная ей матрица есть
abj(A)-присоединенная матрица исходной матрицы А.
Матрица А⁻¹ называется обратной матрицей для матрицы А, если выполняется условие А⁻¹*А=А*А⁻¹=Е
Алгоритм вычисления обратной матрицы
1. Вычисляем определитель матрицы.
2. Записываем транспонированную матрицу.
3. Заменяем каждый элемент транспонированной матрицы его алгебраическим дополнением. Полученная матрица является присоединённой матрицей.
4. Вычисляем обратную матрицу.
Пример.
Матрица обратима, значит можно найти обратную ей матрицу.
Заменяем элементы транспонированной матрицы их алгебраическими дополнениями.
Алгебраические дополнения находятся на формуле
Минор - это то, что останется, если зачеркнуть i-ую строчку и j-ий столбец.
Таким образом нашли обратную матрицу.
Метод Гаусса для нахождения обратной матрицы
Для нахождения обратной матрицы А⁻¹ методом Гаусса необходимо:
1) построить вспомогательную матрицу M, приписав к столбцам матрицы A справа столбцы единичной матрицы того же порядка, что и матрица
2) элементарными преобразованиями строк привести матрицу M к матрице, в левой части которой стоит единичная матрица:
3) матрица, стоящая в правой части полученной матрицы N и будет обратной матрицей
