В природе существует множество сложных систем, поведение которых можно смоделировать с помощью математических инструментов: муравейник, пчелиные соты, изменяющие форму стаи рыб или нейронные сети. Лабиринтные узоры также являются сложной системой, рисунок которой можно смоделировать.
В Испании, Португалии, Южной Франции и Северо-Западной Италии обитает жемчужная (глазчатая) ящерица. Свое название она получила за красивые, ярко-голубые пятна на теле. Верхняя часть тела серо-зеленая, с разбросанным черным узором на спине. Разноцветные чешуйки ящерицы образуют своеобразные лабиринтные узоры.
Команда ученых их Женевского университета (UNIGE) объяснила, благодаря очень простому математическому уравнению, сложность системы, которая генерирует модели этого узора. Это открытие, описанное в статье, опубликованной в Physical Review Letters, способствует лучшему пониманию эволюции рисунков окраски ящерицы. Процесс допускает множество различных расположений зеленых и черных чешуек, но всегда приводит к оптимальному рисунку для выживания животного.
Отдельные чешуйки глазчатой ящерицы меняют цвет (с зеленого на черный и наоборот) в течение жизни животного, постепенно образуя сложный лабиринтообразный узор по мере взросления.
Исследователи из UNIGE предположили, что лабиринты возникают на поверхности кожи, потому что сеть чешуек представляет собой так называемый «клеточный автомат».
Клеточный автомат – дискретная динамическая система, представляющая собой совокупность одинаковых клеток, одинаково соединенных между собой. Все клетки образуют так называемую решетку клеточного автомата. Эти решетки могут быть разных типов и отличаться как по размерности, так и по форме клеток.
- Изменения значений всех клеток происходят одновременно после вычисления нового состояния каждой клетки решетки.
- Решетка однородна - невозможно различить какие-либо две области решетки по ландшафту.
- Взаимодействия локальны. Лишь клетки окрестности (как правило, соседние) способны повлиять на данную клетку.
- Множество состояний клетки конечно.
В случае глазчатой ящерицы чешуя меняет состояние - зеленое или черное - в зависимости от цвета соседних чешуек в соответствии с точным математическим правилом. Ученые продемонстрировали, что этот механизм клеточного автомата возникает из суперпозиции, с одной стороны, геометрии кожи (толстой внутри чешуек и гораздо более тонкий между чешуйками) и, с другой стороны, взаимодействий между пигментными клетками кожи.
Но ученые (Саболч Закани, физик-теоретик из лаборатории Мишеля Милинковичаи, с коллегами) поставили себе ещё одну задачу – определить, может ли изменение чешуек подчиняться еще более простому математическому закону. Ученые обратились к модели Ленца-Изинга.
Модель Ленца–Изинга представляет собой математическую модель ферромагнетизма в статистической механике. Модель состоит из дискретных переменных, представляющих магнитные дипольные моменты атомных «спинов», которые могут находиться в одном из двух состояний (+1 или -1). Спины расположены в графе, обычно в виде решетки, где локальная структура периодически повторяется во всех направлениях, позволяя каждому спину взаимодействовать со своими соседями.
Суть этого подхода в том, что каждая «клетка» - участок кожи, - имеет конечное число доступных состояний (в простейшем случае – всего два) - цветов.
Ученые определили, что эта модель может точно описать феномен изменения цвета чешуи у глазчатой ящерицы. Точнее, они адаптировали модель Ленца-Изинга, обычно организованную на квадратной решетке, к гексагональной решетке чешуек кожи. В случае глазчатой ящерицы процесс изменения цвета способствует формированию всех распределений зеленых и черных чешуек, которые каждый раз приводят к лабиринтообразному узору, а не к линиям, пятнам или кругам.
Мишель Милинкович, один из исследователей, говорит: «Эти лабиринтные узоры, которые обеспечивают глазчатым ящерицам оптимальный камуфляж, были выбраны в ходе эволюции. Эти рисунки генерируются сложной системой, которую, тем не менее, можно упростить как единое уравнение, где важно не точное расположение зеленой и черной чешуйки, а общий вид конечных паттернов. У каждого животного будет разное точное расположение его зеленой и черной чешуи, но все эти альтернативные модели будут иметь схожий внешний вид (т.е. очень похожую "энергию" в модели Ленца-Изинга), что дает этим разным животным равные шансы на выживание».
#математические истории #математика #занимательная математика #математика и природа