ЕГЭ. Математика. Профиль. Задание 19

Его иногда называют "олимпиадным". Задание имеет исследовательский характер, требуя подчас проверки подтверждения или опровержения гипотез. Долбачи никогда не справятся с ним, и, напротив, верное выполнение всего задания (4 балла) говорит о готовности ученика к продолжению образования в ведущих вузах. Всего за задание 4 балла, но обычно взять можно 2. КАК?

Однако не все так плохо. Первый пункт ( и иногда второй)доступны многим участникам ЕГЭ, в том числе и выпускникам с недостаточной общей алгебраической подготовкой, но развитым логическим мышлением. Достаточно сообразительности и минимального терпения, чтобы обнаружить нужную математическую конструкцию. Конечно, долбач с отсутствием логики и это не решит, но долбачам надо сдавать БАЗУ!

Буквально пара примеров. Пример 1. Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90? Запишем число как 100а+10b+c. Запишем сумму цифр: a+b+c. По условию: (100a+10b+c):(a+b+c)=90. Ничего сложного? Тогда 100а+10b+c=90a+90b+90c или 10а-80b-89c=0. C=0, иначе в сумме 0 не получится. Тогда 10а=80b или a=8b, а искомое число 810. Элементарно!

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88? Попробуйте сами. Принцип тот же.

Пример 2. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n не меньше 3).

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14? Всего-то надо пример привести. Проверяем вариант 3 чисел. Пусть первое a1, а разность d/ Сумма первых трех будет a1+a1+d+a1+2d=3a1+3d=3(a1+d). 14 на 3 не делится. Для трех чисел нельзя. Проверяем вариант 4 чисел. Тогда сумма будет a1+a1+d+a1+2d+a1+3d=4a1+6d=2(2a1+3d). Можно. Прогрессия 2;3;4;5. Это ответ и балл!

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900? Тоже элементарно. Возьмем минимальную натуральную прогрессию с первым членом и разностью 1: 1;2;3;... и посмотрим, на каком члене сумма превысит 900. Это будет 42 член. Ответ 41. И еще балл!

P.S. Чтобы это решать, нужно готовиться специально. Самому, самой, на курсах, с репетитором. Всего доброго!