Те, кто увлекается математикой, должно быть, знают фамилию Арнольд. Зовут его Владимир Игоревич. И он был одним из самых мощных советских и российских математиков не только своего времени, но и всего XX века. Его научным руководителем был Андрей Николаевич Колмогоров, а интерес к математике, как говорил в одном интервью сам Владимир Игоревич, у него проснулся в 5 классе, когда учительница дала им вот такую задачу.
Из двух деревень навстречу друг другу на рассвете одновременно вышли две старушки. В полдень они встретились и продолжили свой путь. Одна пришла в конечный пункт в 4 часа дня, а вторая — в 9 вечера. Вопрос — во сколько рассвело в этот день?
Никто в классе в тот день не смог её решить на уроке. На следующий день Арнольд всё-таки придумал решение, и оказался единственным из класса, кто нашел ответ. Так, по его собственным словам, у него проснулся интерес к математике.
Попробуйте решить, может быть, и у вас проснется, если он вдруг спит)
Решение
Первый способ — тупиковый
Если вы не сразу полезли смотреть решение, а сначала попробовали решить самостоятельность, то, скорее всего, вы как взрослый человек пробовали решить эту задачу с помощью системы уравнений. И у некоторых, возможно, получалась система из трёх уравнений с четырьмя неизвестными (см. картинку ниже), решить которую, понятное дело, невозможно.
Второй способ — система
Можно немного помучиться и составить систему уравнений похитрее — для расстояний от каждой деревни до места встречи. Потом проявить немного смекалки, перемножить уравнения в системе и получить ответ, что рассвет был в 6 часов утра (смотри решение ниже).
Третий способ — квадратное уравнение
Можно и без систем уравнений. Надо принять расстояние между деревнями за единицу. А рассвет пусть был в Х часов. Тогда (16-Х) — время, которое была в пути первая старушка, а (21-Х) —время, которое была в пути вторая старушка.
В это случае скорость первой старушки можно записать вот так: 1/(16-Х), а скорость второй старушки — 1/(21-Х). Ну и раз встретились старушки в полдень, то есть в 12 часов, значит, каждая из них до встречи шла (12-Х) часов.
Исходя из всех этих обозначений, можно составить и решить уравнение, которое сводится в квадратному и путём не таких уж и лёгких вычислений приводит нас к двум ответам, что рассвет был в 18 часов и в 6 часов. Понятно, что в вечером в 18 часов рассвет никак не может быть, значит правильный ответ — 6 часов (смотри картинку ниже).
Четвертое решение — арифметическое
Но ни одно из этих решений не под силу пятикласснику. Очевидно, есть какое-то более простое решение, до которого и догадался маленький Володя Арнальд — единственный из всего класса.
Пусть t — это время от рассвета до полудня. Тогда можно нарисовать схему (смотри рисунок ниже), в которой зеленым обозначена скорость и время которое шла первая старушка, а голубым — вторая. После этого просто записываем, чему равны отрезки АО и ОВ для той и для другой старушки. Получается пропорция, которая благополучно сводится среднему геометрическому и получается ответ — рассвет был в 6 часов утра. Такое решение вполне под силу не только пятикласснику, но и третьекласснику на какой-нибудь олимпиаде.
До какого варианта решения вы догадались сами? И какой вариант вам кажется самым простым? Можете поэкспериментировать и дать задачу своим детям и внукам. Уверен, многим из них (независимо от возраста) покажется, что в задаче недостаточно данных. Если у вас есть другое решение, пишите в комментах. Вот мой Телеграмм-канал для своих, а вот несколько других интересных задач: