Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу Вам показать занимательный пример, который лишний раз убедит, что любые правдоподобные гипотезы, построенные на экспериментальные данных, требуют строгого математического доказательства. Итак, есть такой замечательный бесконечный ряд, который принято называть гармоническим:
Многие, конечно, помнят, что этот ряд является расходящимся, как бы это не казалось странным. Совсем другая ситуация, если начать чередовать знаки:
Знакопеременный ряд уже сходится к вполне себе обычной величине. А что будет, если чередовать знаки, подбрасывая монетку? Например, выпадет решка - следующее слагаемое будет вычитаться, орёл - прибавляться и т.д.:
Ряд сходится в любой конфигурации, т.к. падение только орлов "ООООООООО....", соответствующее гармоническому ряду стремится
к нулю.
Здесь уже возникает вопрос: какова вероятность получения той или суммы? В принципе, суммой может быть любое действительное число, так что вероятность получения какого-либо конкретного значения равна нулю. Однако, никто не мешает ввести вероятность попадания суммы в какой либо диапазон, построив распределение:
Например, вероятность попадания суммы ряда в диапазон от 0 до 1 равняется, судя по графику, площади под графиком. И вначале может показаться, что распределение так же красиво и просто, как и подбрасывание монетки: тут тебе ровные значения центрального пика (0,25), а при ±2 - 1/8. Указанные факты, в целом, подтверждал и компьютер, однако Байрон Шмуланд в своей статье показал, что при ±2, функция равна:
0,12499999999999999999999999999999999999999764,
что отличается менее, чем на 10⁻⁴², а центральный пик соответствует 0,2499150393! Как говорится, доверяй, но проверяй! Спасибо за внимание!
