Попробуем внести ясность в этот запутанный предмет. Итак, размерность величины (не путать с геометрической, хотя связь есть): что это такое?
Вообще, идея абстрактного числа, которое вот просто 42 и всё - очень поздняя, а в жизни всегда 42 чего-то. Это называют именованными числами. Но это уже размерность. Вот есть два огурца и три помидора: можно их складывать или нельзя? Вообще говоря, нельзя. Но можно посмотреть иначе, считая оба вида овощей овощами и сложить 2 и 3 овоща, получив 5 овощей. Если эту детсадовскую идею развить, то мы придем к теории множеств и к абстрактным натуральным числам как мощностям конечных множеств.
Дроби, отрицательные, вещественные и даже комплексные числа появляются довольно просто расширением возможностей числовых операций. Для дробей и отрицательных чисел есть удобные приложения: дольки апельсина или куски торта, долги и температура ниже нуля, всё в таком роде.
Теперь можно выбрать эталон чего угодно, описать процедуру сравнения чего-то с эталоном, и считать, сколько раз эталон уложится. Очевидно, как измерять объем жидкости (наливать в мерку, потом делить мерку на более мелкие по аналогии с тортом), длину (прикладывать линейку), время (считать тики тех или иных часов), массу (сравнивать с эталоном на рычажных весах по формулам рычага или полагаться на измерение веса) и так далее. Это уже размерность.
С другой стороны, можно взять отношение двух одинаково именованных чисел, и это отношение безразмерно. Точнее, оно измеряется в "разах".
И вот тут начинается путаница. Дело в том, что углы определяются как отношение длины дуги окружности к длине радиуса этой же окружности, и потому углы безразмерны. Один "раз" - это один радиан. Давно известно, что полный оборот, окружность, имеет длину два пи, то есть радиус укладывается шесть полных раз, а далее радиус надо делить на более мелкие доли, причем этот процесс никогда не остановится: как не дели, а придется делить снова, снова и снова.
В итоге угол безразмерен, но единица измерения у него есть: радиан, градус, оборот или что угодно ещё. Но углы можно возводить в степени и потом складывать, а это позволяет вычислять ряды и прийти к функциям, таким, как синусы. От "истинно" размерных величин вроде килограммов или метров синус взять нельзя.
Иногда пишут закон в виде a+b ln(I), где I - физическая величина с размерностью. Но это условность, так как параметры можно заменить и записать формулу так: A ln(I/B), и теперь под логарифмом безразмерное отношение. Но с логарифмом такое прокатит, и с корнем тоже, а вот с синусом - нет: множитель внутрь синуса никак не внести.
Вот часто встречается отношение v/c, где обе величины - скорости. Это безразмерное отношение, которое от выбора единицы скорости не зависит. Можно обозначить u=v/c и тогда u - безразмерная переменная. Ее можно возводить в степень, вычитать из безразмерной константы и вычислять от этой разности корень.
С другой стороны, можно принять скорость света за единицу и тогда c=1; получаем вместо v/c просто v и опять можно эту скорость возводить в степень, вычитать из единицы и вычислять корень. Но теперь имеется в виду не 1-v, а (c-v)/c при c=1. Математически-то это одно и то же, но физические разные вещи.
В итоге отношения величин одной размерности можно сравнивать (равны, больше-меньше, намного больше-меньше), можно умножать и делить, можно возводить в степень и складывать эти степени, можно вычислять от них аналитические функции - но с осторожностью надо складывать и вычитать. Сумма вероятности и угла или угла и отношения скоростей - вряд ли будет иметь смысл.
Главное, чтобы выполнялась инвариантность: переход к другим единицам измерения не должен менять уравнения и формулы: только константы в них. Вот это важно: чтобы инвариантность была. Если есть, то можно выбирать любые единицы, какие нравятся. Обычно выбирают такие, чтобы задача стала проще. Если нет инвариантности, уравнения ничего не описывают.
Есть такая теорема, именуемая пи-теоремой или теоремой Бакингема: если в модели есть N переменных и n различных размерностей, то ее можно описать в терминах N-n безразмерных переменных.
Например, если модель имеет вид u=av, то можно обозначить u/v=w и прийти к w=a, где a безразмерная константа.
Вот несколько примеров того, что даёт анализ размерностей.
Теорему Пифагора мы уже обсуждали: прямоугольный треугольник определяется гипотенузой и одним из углов, значит, площадь можно выразить через них. Угол безразмерен, то есть площадь может быть только пропорциональная квадрату гипотенузы, иначе не обеспечить инвариантность. Опустив высоту, разделим треугольник на два так, что исходный равен сумме этих двух, и катеты исходного суть гипотенузы новых. Всё.
Радиус Шварцшильда любого тела пропорционален его массе. Получается легко, если положить c=1 и G=1. Первое действие по ути означает измерение длин в секундах (световых). Тогда скорости безразмерны, а ускорения измеряются в обратных секундах.
Второе чуть сложнее: оно позволяет выразить ускорение через единицу массы, опираясь на закон тяготения Ньютона: a=GM/R². Поскольку слева обратная секунда, G=1 и R в секундах, то aR² имеет размерность массы. То есть мы выразили секунду в килограммах.
Чисто формально, конечно. Килограмм времени - это просто некоторое заданное количество секунд: константа зависит от c и G.
Теперь понятно, что любая длина будет пропорциональна массе тела: других масс в игре все равно нет.
Плотность потока излучения пропорциональна четвертой степени температуры. Просто потому, что если принять, помимо с=1 и ħ=1, еще константу Больцмана за единицу (это просто обменный коэффициент между температурой и энергией), задав тем самым единицу измерения температуры (в единицах энергии), то мы придем к следующим размерностям: энергия в кельвинах, частота тоже, масса это энергия и она тоже в кельвинах, время в обратных кельвинах, как и длина. Объем тогда измеряется в кельвинах в степени минус 3, так что плотность энергии - в кельвинах в 4 степени. Газ, находящийся в тепловом равновесии с телом, имеет плотность энергии, которая пропорциональна четвертой степени единственной температуры, которая присутствует в модели. Или по-другому: мощность (энергия на время) будет в квадратных кельвинах, поток энергии (мощность на площадь) будет в кельвинах в четвертой, а величина в кельвинах в модели только одна: температура. Вот вам и пропорциональность T⁴.
Независимость периода колебаний маятника от массы (если трения нет) получается тоже на основе анализа размерности. Период - это время (сек), и он может зависеть от: массы (кг), длины веревки (м), ускорения свободного падения (м/сек²), начального угла, на который отклонен маятник (безразмерный угол), начальной скорости (м/сек). Как не комбинируй величины, в правой части останется килограмм, а в левой его нет. Для сохранения инвариантности необходимо, чтобы килограмма справа не было вообще. То есть, массы в формуле нет и быть не может. Более того, у нас "почти" есть формула (но только начальную скорость надо убрать): квадрат периода пропорционален отношению длины веревки к ускорению свободного падения. Коэффициент пропорциональности может зависеть от начального угла. Начальную скорость можно ввести тоже, но это уже другая история.
Еще пример. Решая некоторую задачу теплопроводности порошка, мы имеем три размерности: температуру, длину и время. При этом у нас есть эталон времени и температуры, но мало что известно о размерах средней частицы порошка. Мы решаем обратную задачу: сравнивая расчетную величину с измеренной, мы определяем значения параметров модели. Найдя некоторый набор параметров и располагая произволом в выборе эталона длины, мы можем найти множество решений, меняя средний размер частицы. Увеличив размер вдвое, мы увеличим параметр скорости тоже вдвое, а вот коэффициент температуропроводности - вчетверо. Если размер частички порошка от 0.1 до 1 микрона, а вот коэффициент надо б раза в два побольше, то это можно обеспечить без дополнительных затрат.
Чуть позже мы немного разовьём идею группового анализа.