Один из моих постоянных читателей попросил сделать список диагностических вопросов и "нестандартных" задач, которые можно было бы использовать для проверки базовых знаний. Этакий тест Тьюринга, чтобы отличать хорошо заалгоритмизованного ученика от реально понимающего.
К сожалению, прямо вот списка задач лучше, чем в ЕГЭ и ОГЭ, я предоставить не смогу. Там всё-таки трудился не один Стив Май, а целая толпа весьма умных мужей.
Однако я смогу расшифровать некоторые принципы, по которым построены эти задания, чтобы учителя могли и сами создавать эти "нестандартные" задачи.
Сегодня рассмотрю принцип атомарности. Самые базовые знания - это знания определений. Задание для проверки простой темы должно требовать только знания определения и больше ничего. Ну, возможно, каких-то таких же базовых знаний более низкого уровня.
Это не значит, что задача должна быть простой. Даже на определение степени можно придумать весьма заковыристое задание, которое позволит увидеть, понимает ли ребёнок это арифметическое действие.
Кстати о действиях.
Собственно, с них и надо начинать - это первая тема в математике. В ОГЭ это задания 6 и 8.
Чтобы проверить, умеет ли ученик выполнять вычисления, очень сложных и заковыристых заданий не требуется. Надо просто знать, где есть "подводные камни".
Лирическое отступление. Как правило, алгоритмы выполнения тех или иных задач (например, арифметических вычислений) основаны на определении. Но в некоторых случаях эти алгоритмы оказываются весьма сложными и разветвлёнными. Да, исходя из определения, эти ветвления всегда видно, но человек, который ориентируется лишь на алгоритмы, может забыть редко используемые ветви этих алгоритмов. Это часто называют "подводные камни". За это и не любят математику.
Например, очень хороший "подводный камень" есть в алгоритме вычитания "столбиком". Алгоритм основан на определении позиционной десятичной системы счисления (см. рассказ о болтах и гайках).
Алгоритм до безумия простой и короткий, в нём есть всего три ветви (я расположу их в порядке частоты использования):
1. Если цифра n-ого разряда уменьшаемого больше, чем аналогичная цифра вычитаемого, то просто вычитается из большего меньшее.
2. Если цифра n-ого разряда уменьшаемого меньше, чем аналогичная цифра вычитаемого, то из старшего разряда "занимается" один "десяток" и вычитается не из цифры, а из увеличенной на 10 цифры.
3. Если в п. 2 "занимать" приходится из нуля, то это рассматривается как вычитание единицы из нуля, для чего нужно "занимать" из ещё более старшего разряда, возможно, рекурсивно.
И если первые два пункта более или менее часто приходится применять, то последний - встречается крайне редко, поэтому именно он забывается ("подводный камень") учениками, которые относятся к вычитанию, как к магическому алгоритму.
Полная серия заданий для проверки вычитания должна выглядеть примерно так:
1. Задание на проверку вычитания вообще как такового. Это должно быть задание в числах, в которых ребёнок гарантированно не ошибётся, если знает определение вычитания (как обратного к сложению, или на натуральных предметах). Это простое вычитание на 1ю ветку алгоритма:
7 - 3; 27 - 13; 327 - 102.
Обратите внимание на последнее задание - оно уже требует некоторого представления о позиционной системе счисления. Ошибки понимании могут привести к ответам вроде 315, 324, 207.
2. Задания для проверки использования принципов позиционной системы для вычитания. Предтечи этой проверки есть уже в предыдущем пункте.
375 - 79; 71 - 55; 725 - 17; 112 - 5; 12 - 5
Тут задания нужны более разнообразные, потому что может быть несколько разных ситуаций: при вычитании из уже "занятого" разряда возникает необходимость "занимать" снова; после всех "заниманий" и вычитаний остаётся ноль в среднем разряде; после "занимания" сразу остаётся ноль в среднем разряде; в старшем разряде, и так далее
Каждая из этих ситуаций порождает "нестандартную" ветку №2 алгоритма. В принципе, если чётко следовать алгоритму, то никаких проблем возникать не будет, но тут есть нюанс: возникает ноль, а в алгоритме на ноль завязана ветка №3, поэтому ребёнок может начать путать эти ветки, и пойдут ответы вроде 112 - 5 = 97
Кроме того, если ребёнок не в курсе ветки №2 (в любом смысле), то возникнут ответы вроде 375 - 89 = 314.
3. И последний момент - это особенность третьей ветки с её рекурсивным вызовом. Задания, которые могут проверить её - это простые вычитания со стопочками "нулей" в любой комбинации. Например:
305 - 17; 5002 - 7; 3507 - 3008.
Комментариев почти не требуется, этот "подводный камень" знают все учителя без исключения. Правда, тут нужно отметить, что ребёнок может для этих заданий и не использовать алгоритм вычитания "столбиком", а, скажем, вычитать так: 4995 + 7 = 5002. Это иногда учителями принимается за ошибку, но при этом как раз наоборот - является куда более правильным, чем вычитание "в столбик", ибо использует определение вычитания как обратного к сложению действия.
Заключение
Обязательно надо сказать, что верное выполнение всех этих заданий ещё не указывает на понимание. Реалии современной школы таковы, что дети просто вызубривают алгоритм так, что и третья ветка у них держится в памяти. И будет очень трудно отличить ответы, получившиеся в результате работы алгоритма, и ответы, построенные с использованием понимания определений.
Можно попытаться "подловить", неожиданно задав каверзное задание "с подвохом". Но это будет неспортивно, вряд ли приведёт к нужному результату.
Более или менее адекватный результат можно получить, если проводить проверку сразу после лета, пока дети ещё не успели "повторить" эти все алгоритмы.
Задания могут служить в качестве "разрушающего" контроля, который покажет самому ребёнку, что он делает не так. Но тут надо действовать очень аккуратно и заранее сильно подготовить ученика, а то он просто подумает "я тупой, плохо выучил, надо учить лучше". И будет учить лучше.
При чём здесь ВПР, спросите?
Carthago delendam esse