Распределение простых чисел Числа и ряды Казакова
01.01.01.01г. Решено Эратосфена, числа и ряды Казакова, способные генерировать простые числа
После вычеркивания из положительного натурального ряда всех чисел, делимых без остатка на 2, 3 и 5 (решето Эратосфена с фильтрацией всех чисел за исключением простых и составных, имеющих наименьший множитель не менее 7), получаем (по мере прохождения списка нужные числа остаются, а ненужные исключаются) объединенный список из простых чисел не менее 7 и составных чисел с наименьшим множителем не менее 7, имеющим достаточно наглядный вид, свидетельствующий о закономерности распределения (попарно через 1 интервал) таких чисел, которые назовем числами Казакова (Табл. 01.01.01.01б).
Таблица 01.01.01.01б
Числа Казакова, полученные с использованием решета Эратосфена (числа Казакова выделены)
1
7
11
13
17
19
21
23
27
29
31
33
37
39
41
43
47
49
51
53
57
59
61
63
67
69
71
73
77
79
81
83
87
89
91
93
97
99
101
103
107
109
111
113
117
119
121
123
127
129
131
133
137
139
141
143
147
149
151
153
157
159
161
163
167
169
…
…
…
…
Полученные числа Казакова удобно представить в виде последовательностей – рядов Казакова, которые являются чередованием простых и составных чисел Казакова, образованных с использованием некоторых базисных (исходных) чисел, с шагом приращения кратным 90 – стандартные ряды Казакова (далее – ряды Казакова) (Табл. 01.01.01.01в).
При шаге приращения равном 90 это базисные (исходные) нечетные числа (всего 24: 21 простое число: 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, и 3 составных числа: 49, 77, 91), способные генерировать (с шагом 90) простые и составные числа Казакова (например: 19, 109, 199, 289, 379…); при этом образуются 24 последовательности (ряда Казакова) чередующихся простых и составных нечетных чисел (6 групп (в зависимости от конечной суммы цифр числа) по 4 последовательности (в зависимости от последней цифры числа), которые содержат все (!) простые числа числового ряда (кроме 2, 3 и 5).
Т.о. ряды Казакова (всегда четное число кратное 8) - числообразующие (последовательности) ряды простых и составных нечетных чисел с фиксированной величиной (шагом) приращения очередного элемента ряда, кратной 90, а также имеющие постоянную последнюю цифру числа и постоянную конечную сумму цифр числа.
Отметим одно важное обстоятельство: используемые для формирования рядов Казакова базисные (исходные) числа, шаг приращения, последняя цифра числа и конечная сумма цифр числа находятся в тесной взаимосвязи друг от друга; для каждого ряда (строки) Казакова на основании шага приращения, последней цифры числа и конечной суммы цифр числа можно определить базисное (исходное) число, на основании которого был образован данный ряд (строка) Казакова, а сам шаг приращения определяет три остальные характеристики ряда.
Для шага приращения, равного 90, количество рядов Казакова равно 24:
90 - 90/2 – 90/(2*3) – 90/(2*5) + 90/(2*3*5) = 24, где
90/2 – количество четных чисел среди последовательных положительных натуральных 90 чисел;
90/(2*3) – количество нечетных чисел, кратных 3;
90/(2*5) – количество нечетных чисел, кратных 5;
90/(2*3*5) – количество нечетных чисел, кратных 15;
Представим ряды Казакова как производные от базисных (исходных) чисел M (i) и шага приращения (Табл. 01.01.01.01в):
Таблица 01.01.01.01в
Ряды Казакова, образованные от базисных (исходных) чисел M (i), с различным шагом приращения, кратным 90
(простые числа выделены)
Для изучения закономерности выпадения простых чисел в строках и столбцах рядов Казакова с шагом приращения 90 также введем функцию φ:
φ (1, n, 90) ÷ φ (24, n, 90), φ (Σ, n, 90) и Φ (Σ, N, 90)
Нетрудно заметить, что: Φ (Σ, N, 90) = Φ (Σ, 3N-2, 30) + Φ (Σ, 3N-1, 30) + Φ (Σ, 3N, 30)
Особый интерес вызывает образование рядов Казакова с шагами приращения, кратными (одному или нескольким) базисным (исходным) числам; например, для шага приращения 630 (7*90) имеем:
1. 168 (24*7) рядов Казакова с базисными (исходными) числами от 1 до 629.
2. 1 ряд Казакова, образованный от базисного (исходного) числа 7, будет содержать лишь одно простое число 7 (остальные числа ряда будут составными).
3. Ряды Казакова (всего 23 ряда), образованные от базисных (исходных) чисел, содержащих множитель 7 (49, 77, 91,…,623), будут содержать только составные числа.
4. т.о. количество рядов Казакова, содержащих только составные числа (без учета первого числа), будет равно 1 + 23 = 24 (!).
01.01.01.01д. Свойства чисел и рядов Казакова
1. Как уже утверждалось выше, ряды Казакова это строго определенные последовательности строго определенных простых (имеющих значение не менее 7) и составных (каждый множитель которых имеет значение не менее 7) нечетных чисел (Казакова) с шагом приращения чисел внутри ряда кратным 90, которые содержат все (!) простые числа положительного числового ряда (кроме 2, 3 и 5); при этом для каждого ряда последняя цифра каждого числа и конечная сумма цифр каждого числа остаются неизменными.
Это позволяет на основании любого числа ряда Казакова определить все предшествующие и последующие числа, а также базисное (исходное) число этого ряда.
2. Внутри каждого последовательного интервала (шага приращения), равного 90, всегда находится 24 элемента (числа) рядов Казакова:
90 - 90/2 – 90/(2*3) – 90/(2*5) + 90/(2*3*5) = 24, где
90/2 – количество четных чисел среди последовательных положительных натуральных 90 чисел;
90/(2*3) – количество нечетных чисел, кратных 3;
90/(2*5) – количество нечетных чисел, кратных 5;
90/(2*3*5) – количество нечетных чисел, кратных 15;
3. Некоторым шагам приращения и, соответственно рядам Казакова, образованных с их помощью, соответствует свое характерное простое число i, определяющее количество рядов Казакова для данного шага приращения (используется выражение, что если:
i > 2 — простое, то i2 − 1 кратно 8;
i > 3 — простое, то i2 − 1 кратно 3, 8 и 24) (Табл. 01.01.01.01г).
Соответствие характерных простых чисел i для рядов Казакова и величины шага приращения
Таблица 01.01.01.01г
Шаг приращения
Количество рядов Казакова
i2 − 1
Значение характерного простого числа i (для ряда Казакова с данным шагом приращения)
30
3² - 1 = 8
3
90
5² - 1 = 24
5
180
7² - 1 = 48
7
450
11² - 1 = 120
11
630
13² - 1 = 168
13
1080
17² - 1 = 288
17 и т.д.
4. Внутри каждого интервала, равного 90, имеется 24 числа Казакова и имеет место равенство:
NumP + NumC + 1 = 24, если среди чисел Казакова есть 1;
NumP + NumC = 24, если среди чисел Казакова нет 1; где
NumP – количество простых чисел Казакова среди 24 чисел Казакова (90 положительных натуральных чисел);
NumC – количество составных чисел Казакова среди 24 чисел Казакова (90 положительных натуральных чисел);
5. При образовании рядов Казакова с шагом приращения, кратным базисному (исходному) числу m (m ≥ 7); например, для шага приращения 90m имеем:
- m*24 рядов Казакова с базисными (исходными) числами от 1 до 90m -1;
- если m простое:
- 1 ряд Казакова, образованный от базисного (исходного) числа m, будет содержать лишь одно простое число m (остальные числа ряда будут составными), а 23 (24-1) ряда Казакова, образованные от базисных (исходных) чисел, содержащих множитель m, будут содержать только составные числа; количество рядов Казакова, содержащих только составные числа (без учета первого числа), будет равно 1 + 23 = 24 (!); остальные (m-1)*24 будут содержать как простые, так и составные числа;
- если m составное:
- тут все зависит от того, сколько простых чисел являются сомножителями m и нет ли среди них одинаковых.
6. Равноудаленные от центра два базисные (исходные) числа, расположенные в 1-м столбце в порядке возрастания, в сумме дают число 90: 1+89, 7+83, 11+79, 13+77, 17+73, 19+71 и т.д., а соответствующие им равноудаленные от центра два числа Казакова в n-м столбце в сумме дают число 90n; общая сумма всех чисел n-го столбца равна 1080n (12*90n).
7. Количество рядов Казакова кратно шагу приращения чисел Казакова внутри ряда:
Если шаг приращения чисел Казакова равен 90n, то в этом с лучае имеем 24n рядов Казакова.
Отметим, что каждое последующее (или предыдущее) нечетное число внутри ряда Казакова может быть получено соответственно сложением текущего числа и шага приращения (или вычитанием из текущего числа шага приращения); базисное (исходное) число данного ряда Казакова может быть получено на основании последней цифры текущего числа и его конечной суммы, т.е.
рекуррентная формула для очередного числа Казакова i-го ряда Казакова:
k (i, 1) = M (i)
k (i, n+1) = M (i) + 90*(n), где
k (i, n+1) – текущее число Казакова из i-го ряда Казакова;
i – индекс ряда Казакова; i = 1,2,…24 (для шага приращения 90).
24 – количество рядов Казакова для шага приращения 90;
n+1, n - соответственно индекс текущего и предыдущего чисел Казакова;
В общем случае:
k (i, n+1) = k (i, n) + 90
8. Используемые для формирования рядов Казакова базисные (исходные) числа, шаг приращения, последняя цифра числа и конечная сумма цифр числа находятся в тесной взаимосвязи друг от друга; для каждого ряда (строки) Казакова на основании шага приращения, последней цифры числа и конечной суммы цифр числа можно определить базисное (исходное) число, на основании которого был образован данный ряд (строка) Казакова, а сам шаг приращения определяет три остальные характеристики ряда.
9. Ряды Казакова позволяют также определить количество простых чисел в диапазоне от 1 до 90*n, а также выявить эти числа путем исключения из соответствующих рядов Казакова составных чисел методом вычислений и расчетов с применением специальных функций:
prime floor (A) – ближайшее меньшее простое число по отношению к выражению A;
PriNum [A: B] – перечень (в порядке возрастания) простых чисел, лежащих в диапазоне [A: B];
Num (p(1), p(2),…p(n)) – количество целых чисел nиз перечня p(1), p(2),…p(n);
NumP (n) – количество простых чисел (с нарастающим итогом по столбцу n) для всех рядов Казакова с шагом приращения 90;
NumC (n) – количество составных чисел (с нарастающим итогом по столбцу n) для всех рядов Казакова с шагом приращения 90;
Например, пусть требуется определить количество простых чисел и выявить составные числа в диапазоне [1:180] для ряда Казакова с шагом приращения 90:
- определяем максимальный составляющий множитель (≥7; может быть как простым, так и составным – из чисел Казакова) для формирования составных чисел в диапазоне [1:180]:
prime floor (√ 180) = 13
- определяем количество групп составляющих множителей для формирования составных чисел в диапазоне [1:180]:
PriNum [7: 13] = 7, 11, 13; Num (7, 11, 13) = 3
- определяем количество составных чисел (на основе количества и перечня простых сомножителей) для каждой группы:
для 7: PriNum [7: prime floor (180 / 7) ]= PriNum [7: 23]; Num (7, 11, 13, 17, 19, 23) = 6 (составные числа 49, 77, 91, 119, 133, 161: 7х7, 7х11, 7х13, 7х17, 7х19, 7х23);
для 11: PriNum [11: prime floor (180 / 11) ]= PriNum [11: 13]; Num (11, 13) = 2 (составные числа 121, 143: 11х11, 11х13);
для 13: PriNum [13: prime floor (180 / 13) ]= PriNum [13: 13]; Num (13) = 1 (составное число 169: 13х13);
Определяем количество простых чисел в диапазоне [1:180]:
180/90 * 24 – (6 + 2 + 1) -1 + 3 = 41, где
180/90 * 24 – количество чисел Казакова в диапазоне [1:180];
(6 + 2 + 1) - количество составных чисел (на основе количества и перечня простых сомножителей) среди чисел Казакова в диапазоне [1:180];
1 – учитывает число 1;
3 – учитывает числа2, 3 и 5
Для определения самих простых чисел из соответствующих элементов рядов Казакова «исключаем» 1 и ранее определенные составные числа 49. 77, 91, 119, 121, 133, 143, 161, 169 и «вставляем» 2, 3 и 5.
Соотношение простых NumP (n) и составных NumC (n) чисел Казакова внутри каждого n–го интервала в 90 последовательных натуральных целых чисел (или столбца в 24 строки для рядов Казакова) с нарастающим итогом по всем рядам Казакова подчиняется равенству:
NumP (n) + NumC (n) + 1 = π(24*n) – 3 + NumC (n) + 1 = 24*n
NumP (n) = π(24*n) – 3 = π (90*n) – 3