Найти тему

Распределение простых чисел Числа и ряды Казакова 01.01.01.01г.

Распределение простых чисел Числа и ряды Казакова

01.01.01.01г. Решено Эратосфена, числа и ряды Казакова, способные генерировать простые числа

После вычеркивания из положительного натурального ряда всех чисел, делимых без остатка на 2, 3 и 5 (решето Эратосфена с фильтрацией всех чисел за исключением простых и составных, имеющих наименьший множитель не менее 7), получаем (по мере прохождения списка нужные числа остаются, а ненужные исключаются) объединенный список из простых чисел не менее 7 и составных чисел с наименьшим множителем не менее 7, имеющим достаточно наглядный вид, свидетельствующий о закономерности распределения (попарно через 1 интервал) таких чисел, которые назовем числами Казакова (Табл. 01.01.01.01б).

Таблица 01.01.01.01б

Числа Казакова, полученные с использованием решета Эратосфена (числа Казакова выделены)

1

7

11

13

17

19

21

23

27

29

31

33

37

39

41

43

47

49

51

53

57

59

61

63

67

69

71

73

77

79

81

83

87

89

91

93

97

99

101

103

107

109

111

113

117

119

121

123

127

129

131

133

137

139

141

143

147

149

151

153

157

159

161

163

167

169

Полученные числа Казакова удобно представить в виде последовательностей – рядов Казакова, которые являются чередованием простых и составных чисел Казакова, образованных с использованием некоторых базисных (исходных) чисел, с шагом приращения кратным 90 – стандартные ряды Казакова (далее – ряды Казакова) (Табл. 01.01.01.01в).

При шаге приращения равном 90 это базисные (исходные) нечетные числа (всего 24: 21 простое число: 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, и 3 составных числа: 49, 77, 91), способные генерировать (с шагом 90) простые и составные числа Казакова (например: 19, 109, 199, 289, 379…); при этом образуются 24 последовательности (ряда Казакова) чередующихся простых и составных нечетных чисел (6 групп (в зависимости от конечной суммы цифр числа) по 4 последовательности (в зависимости от последней цифры числа), которые содержат все (!) простые числа числового ряда (кроме 2, 3 и 5).

Т.о. ряды Казакова (всегда четное число кратное 8) - числообразующие (последовательности) ряды простых и составных нечетных чисел с фиксированной величиной (шагом) приращения очередного элемента ряда, кратной 90, а также имеющие постоянную последнюю цифру числа и постоянную конечную сумму цифр числа.

Отметим одно важное обстоятельство: используемые для формирования рядов Казакова базисные (исходные) числа, шаг приращения, последняя цифра числа и конечная сумма цифр числа находятся в тесной взаимосвязи друг от друга; для каждого ряда (строки) Казакова на основании шага приращения, последней цифры числа и конечной суммы цифр числа можно определить базисное (исходное) число, на основании которого был образован данный ряд (строка) Казакова, а сам шаг приращения определяет три остальные характеристики ряда.

Для шага приращения, равного 90, количество рядов Казакова равно 24:

90 - 90/2 – 90/(2*3) – 90/(2*5) + 90/(2*3*5) = 24, где

90/2 – количество четных чисел среди последовательных положительных натуральных 90 чисел;

90/(2*3) – количество нечетных чисел, кратных 3;

90/(2*5) – количество нечетных чисел, кратных 5;

90/(2*3*5) – количество нечетных чисел, кратных 15;

Представим ряды Казакова как производные от базисных (исходных) чисел M (i) и шага приращения (Табл. 01.01.01.01в):

Таблица 01.01.01.01в

Ряды Казакова, образованные от базисных (исходных) чисел M (i), с различным шагом приращения, кратным 90

(простые числа выделены)

Для изучения закономерности выпадения простых чисел в строках и столбцах рядов Казакова с шагом приращения 90 также введем функцию φ:

φ (1, n, 90) ÷ φ (24, n, 90), φ (Σ, n, 90) и Φ (Σ, N, 90)

Нетрудно заметить, что: Φ (Σ, N, 90) = Φ (Σ, 3N-2, 30) + Φ (Σ, 3N-1, 30) + Φ (Σ, 3N, 30)

Особый интерес вызывает образование рядов Казакова с шагами приращения, кратными (одному или нескольким) базисным (исходным) числам; например, для шага приращения 630 (7*90) имеем:

1. 168 (24*7) рядов Казакова с базисными (исходными) числами от 1 до 629.

2. 1 ряд Казакова, образованный от базисного (исходного) числа 7, будет содержать лишь одно простое число 7 (остальные числа ряда будут составными).

3. Ряды Казакова (всего 23 ряда), образованные от базисных (исходных) чисел, содержащих множитель 7 (49, 77, 91,…,623), будут содержать только составные числа.

4. т.о. количество рядов Казакова, содержащих только составные числа (без учета первого числа), будет равно 1 + 23 = 24 (!).

01.01.01.01д. Свойства чисел и рядов Казакова

1. Как уже утверждалось выше, ряды Казакова это строго определенные последовательности строго определенных простых (имеющих значение не менее 7) и составных (каждый множитель которых имеет значение не менее 7) нечетных чисел (Казакова) с шагом приращения чисел внутри ряда кратным 90, которые содержат все (!) простые числа положительного числового ряда (кроме 2, 3 и 5); при этом для каждого ряда последняя цифра каждого числа и конечная сумма цифр каждого числа остаются неизменными.

Это позволяет на основании любого числа ряда Казакова определить все предшествующие и последующие числа, а также базисное (исходное) число этого ряда.

2. Внутри каждого последовательного интервала (шага приращения), равного 90, всегда находится 24 элемента (числа) рядов Казакова:

90 - 90/2 – 90/(2*3) – 90/(2*5) + 90/(2*3*5) = 24, где

90/2 – количество четных чисел среди последовательных положительных натуральных 90 чисел;

90/(2*3) – количество нечетных чисел, кратных 3;

90/(2*5) – количество нечетных чисел, кратных 5;

90/(2*3*5) – количество нечетных чисел, кратных 15;

3. Некоторым шагам приращения и, соответственно рядам Казакова, образованных с их помощью, соответствует свое характерное простое число i, определяющее количество рядов Казакова для данного шага приращения (используется выражение, что если:

i > 2 — простое, то i2 − 1 кратно 8;

i > 3 — простое, то i2 − 1 кратно 3, 8 и 24) (Табл. 01.01.01.01г).

Соответствие характерных простых чисел i для рядов Казакова и величины шага приращения

Таблица 01.01.01.01г

Шаг приращения

Количество рядов Казакова

i2 − 1

Значение характерного простого числа i (для ряда Казакова с данным шагом приращения)

30

3² - 1 = 8

3

90

5² - 1 = 24

5

180

7² - 1 = 48

7

450

11² - 1 = 120

11

630

13² - 1 = 168

13

1080

17² - 1 = 288

17 и т.д.

4. Внутри каждого интервала, равного 90, имеется 24 числа Казакова и имеет место равенство:

NumP + NumC + 1 = 24, если среди чисел Казакова есть 1;

NumP + NumC = 24, если среди чисел Казакова нет 1; где

NumP – количество простых чисел Казакова среди 24 чисел Казакова (90 положительных натуральных чисел);

NumC – количество составных чисел Казакова среди 24 чисел Казакова (90 положительных натуральных чисел);

5. При образовании рядов Казакова с шагом приращения, кратным базисному (исходному) числу m (m ≥ 7); например, для шага приращения 90m имеем:

- m*24 рядов Казакова с базисными (исходными) числами от 1 до 90m -1;

- если m простое:

- 1 ряд Казакова, образованный от базисного (исходного) числа m, будет содержать лишь одно простое число m (остальные числа ряда будут составными), а 23 (24-1) ряда Казакова, образованные от базисных (исходных) чисел, содержащих множитель m, будут содержать только составные числа; количество рядов Казакова, содержащих только составные числа (без учета первого числа), будет равно 1 + 23 = 24 (!); остальные (m-1)*24 будут содержать как простые, так и составные числа;

- если m составное:

- тут все зависит от того, сколько простых чисел являются сомножителями m и нет ли среди них одинаковых.

6. Равноудаленные от центра два базисные (исходные) числа, расположенные в 1-м столбце в порядке возрастания, в сумме дают число 90: 1+89, 7+83, 11+79, 13+77, 17+73, 19+71 и т.д., а соответствующие им равноудаленные от центра два числа Казакова в n-м столбце в сумме дают число 90n; общая сумма всех чисел n-го столбца равна 1080n (12*90n).

7. Количество рядов Казакова кратно шагу приращения чисел Казакова внутри ряда:

Если шаг приращения чисел Казакова равен 90n, то в этом с лучае имеем 24n рядов Казакова.

Отметим, что каждое последующее (или предыдущее) нечетное число внутри ряда Казакова может быть получено соответственно сложением текущего числа и шага приращения (или вычитанием из текущего числа шага приращения); базисное (исходное) число данного ряда Казакова может быть получено на основании последней цифры текущего числа и его конечной суммы, т.е.

рекуррентная формула для очередного числа Казакова i-го ряда Казакова:

k (i, 1) = M (i)

k (i, n+1) = M (i) + 90*(n), где

k (i, n+1) – текущее число Казакова из i-го ряда Казакова;

i – индекс ряда Казакова; i = 1,2,…24 (для шага приращения 90).

24 – количество рядов Казакова для шага приращения 90;

n+1, n - соответственно индекс текущего и предыдущего чисел Казакова;

В общем случае:

k (i, n+1) = k (i, n) + 90

8. Используемые для формирования рядов Казакова базисные (исходные) числа, шаг приращения, последняя цифра числа и конечная сумма цифр числа находятся в тесной взаимосвязи друг от друга; для каждого ряда (строки) Казакова на основании шага приращения, последней цифры числа и конечной суммы цифр числа можно определить базисное (исходное) число, на основании которого был образован данный ряд (строка) Казакова, а сам шаг приращения определяет три остальные характеристики ряда.

9. Ряды Казакова позволяют также определить количество простых чисел в диапазоне от 1 до 90*n, а также выявить эти числа путем исключения из соответствующих рядов Казакова составных чисел методом вычислений и расчетов с применением специальных функций:

prime floor (A) – ближайшее меньшее простое число по отношению к выражению A;

PriNum [A: B] – перечень (в порядке возрастания) простых чисел, лежащих в диапазоне [A: B];

Num (p(1), p(2),…p(n)) – количество целых чисел nиз перечня p(1), p(2),…p(n);

NumP (n) – количество простых чисел (с нарастающим итогом по столбцу n) для всех рядов Казакова с шагом приращения 90;

NumC (n) – количество составных чисел (с нарастающим итогом по столбцу n) для всех рядов Казакова с шагом приращения 90;

Например, пусть требуется определить количество простых чисел и выявить составные числа в диапазоне [1:180] для ряда Казакова с шагом приращения 90:

- определяем максимальный составляющий множитель (≥7; может быть как простым, так и составным – из чисел Казакова) для формирования составных чисел в диапазоне [1:180]:

prime floor (√ 180) = 13

- определяем количество групп составляющих множителей для формирования составных чисел в диапазоне [1:180]:

PriNum [7: 13] = 7, 11, 13; Num (7, 11, 13) = 3

- определяем количество составных чисел (на основе количества и перечня простых сомножителей) для каждой группы:

для 7: PriNum [7: prime floor (180 / 7) ]= PriNum [7: 23]; Num (7, 11, 13, 17, 19, 23) = 6 (составные числа 49, 77, 91, 119, 133, 161: 7х7, 7х11, 7х13, 7х17, 7х19, 7х23);

для 11: PriNum [11: prime floor (180 / 11) ]= PriNum [11: 13]; Num (11, 13) = 2 (составные числа 121, 143: 11х11, 11х13);

для 13: PriNum [13: prime floor (180 / 13) ]= PriNum [13: 13]; Num (13) = 1 (составное число 169: 13х13);

Определяем количество простых чисел в диапазоне [1:180]:

180/90 * 24 – (6 + 2 + 1) -1 + 3 = 41, где

180/90 * 24 – количество чисел Казакова в диапазоне [1:180];

(6 + 2 + 1) - количество составных чисел (на основе количества и перечня простых сомножителей) среди чисел Казакова в диапазоне [1:180];

1 – учитывает число 1;

3 – учитывает числа2, 3 и 5

Для определения самих простых чисел из соответствующих элементов рядов Казакова «исключаем» 1 и ранее определенные составные числа 49. 77, 91, 119, 121, 133, 143, 161, 169 и «вставляем» 2, 3 и 5.

Соотношение простых NumP (n) и составных NumC (n) чисел Казакова внутри каждого n–го интервала в 90 последовательных натуральных целых чисел (или столбца в 24 строки для рядов Казакова) с нарастающим итогом по всем рядам Казакова подчиняется равенству:

NumP (n) + NumC (n) + 1 = π(24*n) – 3 + NumC (n) + 1 = 24*n

NumP (n) = π(24*n) – 3 = π (90*n) – 3