Распределение простых чисел Числа и ряды Казакова
01.01.01.01в. Рекуррентные формулы на основе диофантовых уравнений и распределение простых чисел
Простые числа (мы рассматриваем простые числа ≥ 7) могут быть получены из рекуррентных формул, т.к. простые числа
≥ 7 должны быть нечетными, т.е. иметь вид 2k+1, а также не быть кратными 3 и 5, т.е. иметь вид:
- для устранения кратности 2 (четности чисел) - 2k±1, где k – целое и 2k±1 ≥ 7;
- для устранения кратности 3 - 3m±1 или 3m±2, где m – целое и 3m±1 ≥ 7, а также 3m±2 ≥ 7
- для устранения кратности 5 - 5l±1, 5l±2, 5l±3, 5l±4, где l – целое и 5l±1 (±2, ±3, ±4) ≥ 7.
Решая данные диофантовы уравнения для 1-х двух условий получаем, что все простые числа, начиная
с 3-го (p(3) = 5), обязательно представимы в виде:
либо p = 6j ± 1 и p = 6j ± 5, где j – целое и 6j ± 1 ≥ 7, а также 6j ± 5 ≥ 7.
Решая данные диофантовы уравнения для всех трех условий получаем, что все простые числа, начиная
с 4-го (p(4) = 7), обязательно представимы в виде:
p = 30j ± 1,
p = 30j ± 7,
p = 30j ± 11,
p = 30j ± 13,
p = 30j ± 17,
p = 30j ± 19,
p = 30j ± 23,
p = 30j ± 29,
где j – целое и p = 30j - 29 ≥ 7
При расчете чисел Казакова по вышеприведенным рекуррентным формулам, мы получаем не только простые, но и составные числа; представив эти числа Казакова в виде рядов с шагом приращения 30 и удалив дублирующие ряды получаем 8 рядов (нестандартные ряды Казакова), образованных от неких нечетных базисных (исходных) чисел (как простых, так и составных: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29) с шагом приращения, равным 30, представляющих собой чередование простых и составных чисел с неизменными последней цифрой числа и повторяющейся комбинацией конечной суммы цифр числа двух видов: 258258… (за 2 идет 5, далее 8, далее снова 2) и 147147… (за 1 идет 4, далее 7, далее снова 1) (Табл 01.01.01.01а).
Таблица 01.01.01.01а
Числа (≥ 7) и ряды, полученные по рекуррентным формулам после удаления дублирующих рядов (пцч – последняя цифра числа, пкксцч – повторяющаяся комбинация конечной суммы цифр числа) (простые числа выделены)
Рекурр-я ф-ла
пцч
пкксцч
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
30j - 29
1
1, 4, 7
1
31
61
91
121
151
181
211
241
271
301
331
361
391
421
451
481
30j - 23
7
7, 1, 4
7
37
67
97
127
157
187
217
247
277
307
337
367
397
427
457
487
30j - 19
1
2, 5, 8
11
41
71
101
131
161
191
221
251
281
311
341
371
401
431
461
491
30j - 17
3
4, 7, 1
13
43
73
103
133
163
193
223
253
283
313
343
373
403
433
463
493
30j - 13
7
8, 2, 5
17
47
77
107
137
167
197
227
257
287
317
347
377
407
437
467
497
30j - 11
9
1, 4, 7
19
49
79
109
139
169
199
229
259
289
319
349
379
409
439
469
499
30j - 7
3
5, 8, 2
23
53
83
113
143
173
203
233
263
293
323
353
383
413
443
473
503
30j - 1
9
2, 5, 8
29
59
89
119
149
179
209
239
269
299
329
359
389
419
449
479
509
φ (1, n, 30)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
φ (2, n, 30)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
φ (3, n, 30)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
φ (4, n, 30)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
φ (5, n, 30)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
φ (6, n, 30)
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
φ (7, n, 30)
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
φ (8, n, 30)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
φ (Σ, n, 30)
7
7
7
6
5
6
5
6
5
5
4
6
5
4
6
5
5
Φ (Σ, N, 30)
7
14
21
27
32
38
43
49
54
59
63
69
74
78
84
89
94
Для изучения закономерности выпадения простых чисел в строках и столбцах рядов введем функцию φ:
φ (k, n, 30) – количество простых чисел Казакова (строка k (k = 1,2,…8), столбец n) для нестандартного ряда Казакова с шагом приращения 30;
φ (Σ, n, 30) – суммарное количество простых чисел Казакова для столбца n для всех 8 строк нестандартных рядов Казакова с шагом приращения 30;
Φ (Σ, N, 30) - суммарное количество простых чисел Казакова с нарастающим итогом по столбцу N для всех строк нестандартных рядов Казакова с шагом приращения 30;
Изучая изменение значений φ (k, n, 30) по каждой k-й строке нестандартных рядов Казакова с шагом приращения 30 как в целом, так и в определенных диапазонах рассмотрения, можно вывести эмпирические зависимости для каждой из 8 строк (нестандартных рядов Казакова с шагом приращения 30), а на основе их определить общие закономерности выпадения простых чисел.
Эту задачу можно решить и через составные числа.
Как было отмечено выше, нестандартные ряды Казакова с шагом приращения 30 представляют собой чередование всех простых (кроме 2, 3 и 5) и составных чисел Казакова, причем составные числа Казакова определяются последовательным перемножение чисел Казакова (простых и составных, кроме 1) друг на друга; числа эти легко определяются по рекуррентной формуле:
k (i, n+1) = M (i) + 30*(n) и
k (i, n) –n-е число Казакова из i-го ряда (может быть как простым, так и составным);
i – индекс ряда; i = 1,2,…8 (для шага приращения 30).
8 – количество рядов для шага приращения 30;
M (i) - нечетное базисное (исходное) число i – го ряда;
n - № столбца ряда –номер числа Казакова в данном ряду; n = 1,2,… ∞
n+1, n - соответственно индекс текущего и предыдущего чисел Казакова;
В общем виде:
k (i, n+1) = k (i, n) + 30, где k (i, 1) = M (i)
Выделив из общего количества чисел Казакова составные числа Казакова, полученные последовательным перемножением простых и составных чисел Казакова друг на друга, получим простые числа Казакова, т.е. простое число Казакова– это такое нечетное число (кроме 1) среди чисел Казакова, которое не является произведением любых (двух) других чисел Казакова (кроме 1), т.е. таким образом определяется универсальный набор факторов, характеристик и условий, определяющий простоту данного числа x в данном нестандартном ряду Казакова с шагом приращения 30.
В этом случае (выявление составных чисел и их количества для каждой строки и столбца нестандартных рядов Казакова с шагом приращения 30) возможно решение задачи о количестве простых чисел, не превосходящих заданной величины π (x):
π (x)= π (30)= 3 + 8×n – Num³ºC(n) – 1 = (3 – 1) + 8×n – Num³ºC(n) = 2 + 8×n – Num³ºC(n), где
3 – учет простых чисел 2, 3 и 5;
8 – количество рядов для шага приращения 30;
n - № столбца ряда, для которого вычисляется π (x);
Num³ºC(n) – суммарное количество составных чисел Казакова всех рядов Казакова с нарастающим итогом для n-го столбца при шаге приращения 30:
Num³ºC(n) = 8×n - Φ (Σ, N, 30) - 1
1 – учет 1.