Распределение простых чисел Числа и ряды Казакова
01.01.01.01а. Основные задачи, связанные с распределением простых чисел.
Получение рекуррентной формулы для очередного простого числа:
p(n+1) = f (n, p(1), p(2),…p(n)), где p(n) – n-е простое число (p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5, ... ), является одной из важнейших
задач теории чисел, позволяющей решить большинство вопросов, связанных с простыми числами.
Следующей является задача о количестве простых чисел, не превосходящих заданной величины π (x):
найти функцию π (x), значение которой в точке x равно числу простых чисел на отрезке [1 ÷ x], где x – любое действительное число не меньшее единицы (x ≥ 1).
И, наконец, третьей важной задачей, связанной с простыми числами, является универсальный набор факторов, характеристик и условий, определяющий простоту данного числа x.
Полагая, что задачу закономерности распределения простых чиселневозможно (или крайне затруднительно) решить на основе стандартного математического подхода, т.е. на основе формулировки лемм, доказательства теорем и т.д., попробуем решить данную задачу методами алгоритмической математики, т.е. решение будет представлено в виде алгоритма вычисления конкретной позиции следующего простого числа в последовательном списке натуральных чисел (или специально подобранного массива целых чисел), когда на основе предыдущих значений производится прогноз следующего значения.
При использовании интервала [n_min ÷ n_max], в котором должно находится следующее простое число, лучшим будет тот алгоритм, у которого будет минимальным значение [n_min ÷ n_max].
Рассмотрим один из альтернативных методов поиска и нахождения закономерности распределения простых чисел среди натуральных, используя рекуррентные формулы на основе диофантовых уравнений, числа Казакова и ряды Казакова.
Получение чисел Казакова возможно как с помощью рекуррентных формул на основе диофантовых уравнений, так и путем вычеркивания из положительного натурального ряда всех чисел, делимых без остатка на 2, 3 и 5 (решето Эратосфена с фильтрацией всех чисел за исключением 1, а также простых и составных, имеющих наименьший множитель не менее 7),
01.01.01.01б. Методический подход к решению проблемы.
1. Сокращение количества натуральных чисел путем выделения чисел, кратных 2, 3 и 5: это позволит рассматривать среди каждых 90 последовательных натуральных чисел только 24 числа, которые назовем числами Казакова (содержат не повторяющиеся (в порядке увеличения значения) простые и составные целые нечетные числа.
90 - 90/2 – 90/(2×3) – 90/(2×5) + 90/(2×3×5) = 24, где
90/2 – количество четных чисел среди последовательных положительных натуральных 90 чисел;
90/(2×3) – количество нечетных чисел, кратных 3;
90/(2×5) – количество нечетных чисел, кратных 5;
90/(2×3×5) – количество нечетных чисел, кратных 15;
2. Выделение из этих чисел Казакова составных чисел путем последовательного перемножения чисел Казакова (простых и составных, кроме 1) друг на друга; в результате каждый раз будем иметь составное число Казакова.
3. В этом случае, простое число Казакова– это такое нечетное число (кроме 1) среди чисел Казакова, которое не является произведением любых других чисел Казакова (кроме 1).
4. Числа Казакова могут быть организованы в ряды Казакова (по определенным правилам с фиксированным шагом приращения, кратным 90), с выделением «строк» и «столбцов» (по рядам) и подсчетом количества простых и составных чисел Казакова по столбцам и строкам рядов Казакова;
для нахождения π (x); при этом необходимо учитывать, что:
- для шага приращения, равного 90, имеем 24 ряда Казакова;
- каждой последовательности из 24 чисел Казакова соответствует последовательность из 90 положительных натуральных чисел;
- ранее были исключены простые числа 2, 3 и 5;
- 1 не является простым числом (Казакова);
- введя дополнительную функцию Φ (Σ, N, 90) - суммарное количество простых чисел с нарастающим итогом по столбцу N для всех строк нестандартных рядов Казакова с шагом приращения 90, можно получить выражение количества простых чисел, лежащих в диапазоне [1 ÷ 90n]:
π (90N) = Φ (Σ, N, 90) + 3, где
n – целый множитель числа, кратного 90: n = 1,2,…∞
Аналогично решается задача и при организации нестандартных рядов Казакова с принудительным шагом приращения, кратным 30 (но не кратным 90):
- для шага приращения, равного 30, имеем 8 рядов Казакова;
- каждой последовательности из 8 чисел Казакова соответствует последовательность из 30 положительных натуральных чисел;
30 - 30/2 – 30/(2×3) – 30/(2×5) + 30/(2×3×5) = 8, где
30/2 – количество четных чисел среди последовательных положительных натуральных 30 чисел;
30/(2×3) – количество нечетных чисел, кратных 3;
30/(2×5) – количество нечетных чисел, кратных 5;
30/(2×3×5) – количество нечетных чисел, кратных 15;
- ранее были исключены простые числа 2, 3 и 5;
- 1 не является простым числом (Казакова);
- введя дополнительную функцию Φ (Σ, N, 30) - суммарное количество простых чисел с нарастающим итогом по столбцу N для всех строк нестандартных рядов Казакова с шагом приращения 30, можно получить выражение количества простых чисел, лежащих в диапазоне [1 ÷ 30n]:
π (30N) = Φ (Σ, N, 30) + 3, где
n – целый множитель числа, кратного 30: n = 1,2,…∞
Нетрудно заметить, что:
Φ (Σ, N, 90) = Φ (Σ, 3N-2, 30) + Φ (Σ, 3N-1, 30) + Φ (Σ, 3N, 30)
5. Для получения эмпирических зависимостей, позволяющих получить приблизительный, но близкий к точному результат распределения простых π (x) и составных чисел Казакова, можно использовать определенные последовательные диапазоны (рассмотрения), которые каждый раз формируются по особым правилам:
- разбивка на диапазоны, границы которых определяются количеством (или отсутствием) простых чисел в столбце (столбцах) по всем рядам Казакова (строкам) или
- замена простых чисел символами «P» или «*», а составных - «C» или «_», с последующим получением строки символов для левой границы диапазона и ее зеркального отображения с заменой символов на противоположный для правого диапазона;
При этом возможно наложение нескольких («широких» и «узких») диапазонов со своими закономерностями распределения простых и составных чисел вследствие закономерного изменения как левой границы диапазона (столбца\ов символов рядов Казакова или строки символов ряда), так и правой границы диапазона (столбца\ов символов рядов Казакова.
6. Также возможно выявление закономерности распределения простых и составных чисел внутри рядов Казакова как закономерности распределения одинаковых строк символов одинаковой длины (относительно «жестко закрепленного по местоположению в строке» символу соответственно простого «P» или составного «C» числа), в которых используется замена (с соблюдением последовательности чисел в рядах Казакова) простых чисел символами «P» или «*», а составных - «C» или «_», с последующим получением строки символов.
Для символа «P» на 1-м этапе «наращивания» возможны 4 комбинации: cP, pP, Pc и Pp, каждая из которых на 2-м этапе “наращивания» выдает также по 4 комбинации:
cP: ccP, pcP, cPc, cPp;
pP: cpP, ppP, pPc, pPp;
Pc: cPc, pPc, Pcс, Pсp;
Pp: cPp, pPp, Ppc, Ppp и т.д.,
причем часть комбинаций, полученных на 2-м этапе (выделено) повторяется.
Можно выделить как «прямые» закономерности (например, строке символов “CPC” соответствуют другие строки символов “CPC”), так и «эволюционные» закономерности, когда на каждом этапе происходит «наращивание» строки символов справа или слева одиночным символом «P» или «C» (при этом, естественно, что символу слева соответствует меньшее значение числа ряда Казакова, а символу, стоящему справа, - большее), например:
- «внешняя эволюция»:
cPc: pcPc, ppcPc;
cPc: cPcc, cPccc, cPcccc и т.д.
- «внутренняя эволюция»:
pcPc: pccPc, pcccPc, pccccPc и т.д.
Следует отметить, что, поскольку комбинации символов отражают числа в порядке возрастания, а это сопровождается уменьшением количества простых чисел (которым соответствует символ «P») можно рекомендовать при формировании строк символов «эволюционных» закономерностей чаще употреблять символы «C» справа и символы «P» справа.