Распределение простых чисел Числа и ряды Казакова 01.01.01.01.

Распределение простых чисел Числа и ряды Казакова

01.01.01.01. Введение Гипотеза Римана и распределение простых чисел.

Существует множество математических проблем, имеющих большое значение для теории чисел: одна из них – гипотеза Римана (одна из Millenium Prize Problems института математики Клея), доказательство или опровержение которой будет иметь громадное значение для теории чисел, особенно для распределения простых чисел.

Гипотеза Римана (1859) исходит из того, что дзета-функция Римана ζ(s) (Эйлер (1737)) принимает нулевые значения только в отрицательных чётных целых числах: 0 = ζ(-2) = ζ(-4) = ζ(6) = ζ(-8) … («тривиальные» нули дзета-функции Римана) и в комплексных числах с вещественной частью 1/2 («нетривиальные» нули дзета-функции Римана); непосредственно сама гипотеза Римана касается расположения этих нетривиальных нулей и утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции Римана имеют вещественную часть, равную 1/2, т.е. все нетривиальные нули дзета-функции Римана (число которых бесконечно) лежат на критической прямой

Re s = 1/2, состоящей из комплексных чисел 1/2 + it, где t - действительное число, а i - мнимая единица (Фиг. 01.01.01.01).

Фиг. 01.01.01.01. Действительная (красная) R(s) и мнимая (синяя) J(s) компоненты дзета-функции Римана ζ(s)

Значение гипотезы Римана состоит во взаимосвязи распределения на критической прямой Re s = 1/2 нетривиальных нулей дзета-функции Римана с асимптотикой распределения простых чисел. Этот вопрос имеет значение как для теории чисел, так и затрагивает: криптографические алгоритмы защиты данных, генератор случайных чисел и хеш-функции, конечные поля Галуа и помехоустойчивое кодирование информации (коды Рида-Соломона) и т.д.; нетривиальные нули дзета-функции хорошо коррелируют с энергетическими уровнями электронов на орбитах больших ядер (связь между простыми числами и квантовой механикой), что доказано численными методами и предполагается (на основе этого), что квантовый компьютер поможет доказать гипотезу Римана.

Риман, связав поведение дзета-функции Римана (функции комплексного переменного из области комплексного анализа) и распределение простых чисел (теория чисел из области дискретной математики), попытался применить к дискретным объектам (простые числа – объекты изучения в дискретной математике) аналитические методы из «непрерывной» математики.

Хотя ранее не было найдено какой-либо закономерности в распределении простых чисел среди натуральных, Риман обнаружил, что количество простых чисел, не превосходящих x (функция распределения простых чисел π (x)) - выражается через распределение нетривиальных нулей дзета-функции, а сама гипотеза стала основой для дальнейшего доказательства теоремы о распределении простых чисел (Адамар и Вале-Пуссен, 1896).

Если же гипотеза Римана окажется неверной или недоказуемой, то будет затруднительно (или невозможно) формализовать с помощью методов аналитики «непрерывной» математики распределение простых чисел π (x).

Поэтому предлагается следующий подход к решению проблемы гипотезы Римана:

1. Определение закономерности распределения простых чисел;

2. Определение закономерности распределения нетривиальных нулей дзета-функция Римана ζ(s) на критической полосе 0 ≤ Re(s) ≤ 1;

3. Нахождение взаимосвязи между указанными закономерностями.