Задачи с параметрами - одно из самых сложных заданий ЕГЭ по профильной математике. По разным статистические данным менее 2% сдающих справляются с этой задачей. Это отчасти связано и со скоростью решения выпускников, которые просто не успевают добраться до последних задач.
Подготовку к решению задач с параметрами целесообразно начинать именно с рациональных уравнений, поскольку остальные, как правило, приводят к ним.
Важно понимать, что в школе по сути учат решать линейные и квадратные уравнения, про формулы Карадано для кубических уравнений многие даже и не слышали. Кроме того, основная теорема алгебры говорит о том, что любой многочлен можно представить в виде произведения последних 1-ой и 2-ой степени. Поэтому основная цель аналитического решения прийти к линейному или квадратному уравнению, неравенству или их системе.
Добиться цели помогает
- разложение на множители в случае сравнения с нулём;
- метод замены переменного, который позволяет, как минимум, понизить степень уравнения;
- в некоторых задачах упрощает решение теорема Виета и её обобщенная версия;
- если требуется найти нечетное число решений может помочь четность функции, если таковая имеется;
- из свойств функции упрощает решение (и не только в рациональных уравнениях и неравенствах) свойство монотонности функций.
Если ни один из вариантов не привёл к желаемому, в помощь графический метод решения.
Но это уже совсем другая БОЛЬШАЯ история.