Привет, друзья. Давайте внесем ясность в проблему замедления времени с точки зрения ускоренного наблюдателя, или, если точнее, в неинерциальной системе отсчета.
Начнем с инерциального случая. Даны две системы отсчета (читай — два наблюдателя), их относительная скорость v. Каждый считает покоящимся себя, а другого — подвижным, имеющим скорость ±v.
Время у нас в секундах, а расстояние в световых секундах, так что скорость света равна единице.
Важный факт: величина s, называемая интервалом между двумя точками, имеющими какие-то координаты и какие-то значения времени, одинакова в любой системе отсчета. Формула для s такая:
ds² = dt² - dr²,
где dt — интервал времени между событиями, а dr — расстояние в пространстве. Интервал является аналогом расстояния, но есть отличия: он может быть равен нулю для несовпадающих точек, например. Кривую линию, описывающую движение, можно разбить на маленькие участки, считать их прямыми и сложить длины (интервалы) каждого. Получится "длина" кривой.
Второй важный факт: интервал (и вообще длина кривой в этом смысле) имеет смысл собственного времени, то есть это время, которое покажут часы наблюдателя, движется он там или нет, и как именно — неважно.
Ну, давайте подсчитаем интервал в наших двух системах отсчета. В той, покоится, dr=0: он никуда не летит, сидит на месте. В итоге ds=dt, собственное время совпадает с координатным.
У летающего напарника скорость v. Поэтому dr=vdt и:
ds² = (1 - v²)dt².
Скорость по модулю, конечно, меньше единицы, так как скорость света не превзойти. И понятно, почему не превзойти: собственное время почти остановится при больших скоростях, и скорость увеличиваться почти перестанет.
А точки, для которых ds²<0 (например, одновременные в данной системе отсчета, то есть у которых dt=0), вообще разделены мнимым интервалом. Для них понятие "времени пути" вообще смысла не имеет. В разных системах отсчета они могут быть не одновременны, причем в одной системе отсчета одна раньше, а в другой — другая.
Понятно, что из соображений симметрии следует, что с точки зрения второго всё ровно так же. Это пахнет парадоксом, но наблюдатели не могут встретиться, чтобы сверить часы. Если они начали из одной точки, то в конце у них разные положения в пространстве и разные представления об одновременности.
Иными словами, в разных точках системах отсчета разные значения, и нет возможности их сравнить. Это как чашка кофе стоит здесь 60 рублей, а там 2 евро, и это несравнимо. Нет, конечно, можно взять курс и пересчитать (переход из одной системы в другую), но в разных системах отсчета разные числа, и всё тут, и ничего в этом страшного нет. Проблемы были бы, если бы это один и тот же буфет — вот тогда да, тогда можно покупать кофе по 60 и продавать по 2, и так не может быть.
Любые попытки как-то удаленно сверить часы натыкаются на невзаимность понятия одновременности. События, одновременные в одной системе отсчета, не одновременны в другой. Мы это обсуждали уже. Линия одновременности — перпендикуляр к траектории наблюдателя в пространстве-времени. А общего перпендикуляра к двум прямым, если они пересекаются, нет, вообще говоря. Чуть ниже это станет совсем понятно.
Давайте проследим, как делается переход из системы в систему. Пусть в момент времени t=0 наблюдатели встретились. Введем новую координату R=r-vt. Тогда
dr = dR+vdt.
Первый наблюдатель теперь движется: его координата r не менялась, так что dR = -vdt. Второй же двигался по закону dr = vdt, так что теперь он покоится: dR = 0.
Преобразуем формулу для интервала:
ds² = dt² - (dR+vdt)² = (1-v²)dt² - dR² - 2dRvdt.
Подставим сюда dR=0 и получим в точности то же выражение, что и выше: ds² = (1 - v²)dt². Подставим dR=-vdt:
ds² = (1-v²)dt² - v²dt² + 2v²dt² = dt².
Интервал тот же самый. А это — время, которое намеряют часы данного наблюдателя (часы в данной системе отсчета).
В неинерциальном, ускоренном случае перейти в систему отсчета ускоренного наблюдателя сложно: надо вводить гравитационное поле, оно же тензор кривизны, это мы сделаем чуть позже. А пока пусть у нас один наблюдатель как-то ускоряется, его ускорение постоянно, а другой (первый) покоится.
Важное уточнение. Что, если мы возьмем время, намеренное одним из наблюдателей, а именно корень из (1 - v²)dt², и назовем это новым временем T (временем во второй системе отсчета)? Тогда dt²=dT²/(1 - v²) и получается, что время в первой системе вдруг ускоряется, а не замедляется.
Вот тут-то и имеется ловушка относительности одновременности. Надо говорить о конкретных событиях в пространстве-времени! Если в начале и в конце наблюдатели встретились, то вопросов нет. Такие примеры мы рассмотрим далее. А если они встретились, разлетелись и потом пытаются что-то сравнивать, то у них проблемы. Наблюдатель-1 скажет "прошло сто секунд (dt=100), у наблюдателя-2 часы СЕЙЧАС показывают 100√(1 - v²) секунд, то есть меньше, чем у меня СЕЙЧАС". Но второй наблюдатель с этим "сейчас" не согласится. Когда его часы покажут эти самые 100√(1 - v²) секунд, он скажет "часы наблюдателя-1 СЕЙЧАС показывают 100(1 - v²) секунд, то есть еще меньше, чем у меня СЕЙЧАС".
Если же они встретились и сверяют часы, то они не смогут договориться, кто первым начал отсчет, потому что были далеко друг от друга и понятие об одновременности у них разное. Если один полагает, что они запустили таймер одновременно, другой это оспаривает. Поэтому обязательно надо сверять часы при встрече, то есть длину (в смысле интервала) траектории каждого наблюдателя. Сумму этих маленьких ds. Длины отдельной траектории будут одинаковы в любой системе отсчета.
Уравнение движение подвижного наблюдателя (системы отсчета) такое:
dr = v₀dt - atdt, r=v₀t - at²/2, v=v₀-at.
если скорости не слишком велики. Интервал тогда
ds² = dt² - dr² = dt² - v₀²dt² - a²t²dt² + 2v₀atdt² = (1-v₀²-a²t²+2v₀at)dt².
Нас интересует момент встречи, то есть r(t)=0, то есть t=с. Подставим:
ds² = (1-v₀²-4v₀²+4v₀²)dt² = (1-v₀²)dt².
Или s² = (1-v₀²)t². Мы видим, что путешественник вернулся молодым: по его часам (s) прошло меньше времени, чем по часам домоседа. Для самого домоседа скорость равна нулю и ds=dt.
Конечно, это частный случай, постоянного торможения. Но в других все ровно так же, только здесь хорошо видно: время замедляет скорость, ускорение вообще не при чем. Оно определяет длительность вояжа, то есть t, но не относительное замедление s/t. Оно зависит только от начальной скорости. Конечно, если сначала разогнаться, потом затормозить, да еще полетать туда-сюда, то всё усложнится; но всё равно роль играет в конечном счете именно скорость.
Теперь перейдем в подвижную систему отсчета. Введем новую координату
R = r - v₀t + at²/2.
Тогда dR = dr - v₀dt + atdt, dr = dR + v₀dt - atdt.
Подставляем в интервал:
ds² = dt² - (dR + v₀dt - atdt)² = dt² - dR² - v₀²dt² - a²t²dt² - 2dRv₀dt + 2dRatdt + 2v₀atdt² = dt²(1-v₀² - a²t² + 2v₀at) - dR² - 2dRv₀dt + 2dRatdt.
Тот, кто теперь полагает себя покоящимся, dR=0, имеет собственное время
ds² = dt²(1-v₀² - a²t² + 2v₀at).
Берем то же время t=2v₀/a до встречи и получаем
ds² = dt²(1-v₀² - 4v₀² + 4v₀²) = dt²(1-v₀²),
или s² = t²(1-v₀²). То же самое.
Тот, кто теперь подвижен, движется по закону dR = -v₀dt + atdt, ведь dr=0. Подставляем в интервал:
ds² = dt²(1-v₀² - a²t² + 2v₀at) - (-v₀dt + atdt)² - 2(-v₀dt + atdt)v₀dt + 2(-v₀dt + atdt)atdt =
= dt²(1 - v₀² - a²t² + 2v₀at) - (at-v₀)²dt² - 2(at-v₀)v₀dt² + 2(at-v₀)atdt² =
= dt²(1 - v₀² - a²t² + 2v₀at - (at-v₀)² - 2atv₀ + 2v₀² + 2a²t² - 2v₀at)=
= dt²(1 + v₀² + a²t² - (at-v₀)² - 2atv₀) =
= dt²(1 + v₀² + a²t² - a²t² - v₀² + 2atv₀ - 2atv₀) =
= dt²(1 + a²t² - a²t²) = dt².
То есть ds=dt.
То же самое мы проделывали для вращающихся наблюдателей и для летящих навстречу друг другу с одинаковым (по величине) ускорением.
Никаких чудес.
Любой наблюдатель согласится, что длина кривой, по которой двигался подвижный наблюдатель, то есть длина кривой
R = -v₀t + at²/2, t от 0 до 2v₀/a,
в пространстве Минковского (то есть где длина-интервал задается указанной выше формулой) меньше, чем длина кривой (прямой) R=0.
Теперь обсудим, как же это видит ускоренный наблюдатель. Ведь он может искренне полагать себя покоящимся, но в поле силы тяжести.
Может, но тогда первый наблюдатель свободно падает в этом поле. Он как мяч, подброшенный вверх: сначала летит вверх, замедляясь, а потом падает, ускоряясь. Ускорение все время направлено вниз.
Один вариант — перейти в инерциальную, то есть свободно падающую систему отсчета. То есть как раз в систему отсчета номер 1! Относительно нее наблюдатель ускорен, ну и мы всё уже разобрали.
Точно так же всё обстоит в случае "реальной" гравитации планет или другой материи. Инерциальна свободно падающая система отсчета, относительно нее вы, сидящий на кресле, ускорены, ну и далее по тексту.
Если настаивать на работе в своей системе отсчета, то тоже можно. Метрика, то есть коэффициенты в формуле
ds² = dt²(1-v₀² - a²t² + 2v₀at) - dR² - 2dRv₀dt + 2dRatdt,
зависят от координат (от одной, времени), поэтому такая метрика может обладать кривизной. Может и не обладать, если мы просто взяли "кривые" координаты. Но в данном случае — обладает. Кривая траектория наблюдателя-2 теперь "прямая", но это теперь не геодезическая. Геодезической является линия как раз наблюдателя-1 — вроде как кривая, но наименее кривая из всех возможных.
В обычном пространстве Евклида кратчайшая из кривых между точками — прямая, наименнее искривленная. В обычном Римановом пространстве аналогично, кратчайшей является геодезическая, наименее искривленная. В псевдоевклидовом пространстве всё аналогично, только линии эти не кратчайшие, а длиннейшие. Соответственно, траектория наблюдателя-2, который считает себя в покое в поле силы тяжести, линия вроде как отвечат покою, R=0, но при этом она короче кривой траектории наблюдателя-1 с уравнением
R = -v₀t + at²/2
Почему короче? Потому что надо считать длину по метрике, то есть вычислить ds вдоль кривой и сложить. Но мы это выше проделали! Поскольку ds в любой системе отсчета одинаково, то и длины одной и той же кривой одинаковы в любых системах отсчета. Разница только в том, что в одной системе один покоится, а другой ускоряется, а в другой второй покоится в поле силы тяжести, а первый в этом поле свободно падает.
Давайте обсудим еще один важный момент. Испытывающий тяжесть наблюдатель А может измерить ускорение свободного падения, но часы у него идут как идут, он никакого замедления не ощущает. Замедление он может увидеть только по сравнению с другими часами В, которые либо свободно падают, либо ускорены, либо имеют скорость относительно него (не связанную со свободным падением), либо находятся где-то далеко. Либо всё сразу.
Пожалуй, это уже тема для отдельной беседы.