Метод математической индукции используется для доказательства утверждений, верных для всех натуральных чисел. Он работает по принципу домино. Сначала мы доказываем первое одно или несколько утверждений, то есть базу индукции. Затем мы делаем шаг индукции или переход — доказательство, что если наше утверждение верно для какого-то числа, то для следующего числа оно тоже будет верным.
Между двумя натуральными числами никакие другие натуральные числа не прячутся, в отличие от действительных чисел, между которыми можно вместить бесконечность. Благодаря этому свойству натуральных чисел мы можем от одно числа перейти к другому и утверждение будет работать для всех натуральных чисел.
✂️Делим квадрат на любое количество, начиная с 6
Одна из задач, которая доступна даже младшим школьникам, это доказательство утверждения, что квадрат можно разделить на любое количество квадратов, начиная с 6. На 5 квадратов разделить нельзя, а начиная от 6 и до бесконечности можно. Для доказательства этого утверждения нам потребуется база индукции, то есть разбор нескольких тривиальных примеров. А затем переход, благодаря которому можно перейти к любому натуральному числу.
✂️Делим квадрат на 7 частей
Возьмем один квадрат. Разделим его на 4 равных квадрата, просто разрезав его по горизонтали и вертикали. Был 1, а стало 4, у нас добавилось 3 квадрата. А теперь одну из четвертинок еще раз разделим на 4 части, тогда всего квадратов станет 7. Это видно на картинке.
Здесь стоит различать задачу общего подсчета квадратов (их тут 8, потому что мы считаем составные) и задачу на сколько кусочков мы разрезали (их 7). Разделением одного большого квадрата на 4 маленьких мы всегда можем добавить 3 квадрата.
✂️Делим квадрат на 6 квадратов
Возьмем квадрат 3 на 3, а затем вернуться на шаг назад и объединить 4 квадрата в 1. Так мы получим 6 квадратов.
✂️Делим квадрат на 8 квадратов
Заполучить 8 квадратов тоже несложно. Возьмем квадрат 4 на 4, и объединим в нем 9 квадратов в 1 большой, как на картинке.
Мы умеем резать квадрат на 6, на 7 и на 8 частей, а еще умеем добавлять +3 к каждой позиции. Значит ли это, что теперь мы можем заполучить сколько угодно квадратов?
Да. Добавление трех квадратов — это шаг индукции. Из 6 мы можем получить 9, 12, 15, 18 и так далее все числа, которые делятся на 3. Из 7 мы получить 10, 13, 16, 19 и все числа, которые при делении на 3 дает в остатке 1. Из 8 мы получаем 11, 14, 17 и все числа, которые при делении на 3 дают в остатке 2. Таким образом, мы можем получить любое количество квадратов, хоть 2022.
Это рассуждение подходит для младших школьников, старшим потребуется доказывать в общем виде и показать, как сделать разрезание для n квадратов и перейти к n+1 квадратам. Это строгое искусственное рассуждение, которое я не даю малышам при изучении метода математической индукции.
Для изучения этого метода я рекомендую прочитать книгу Александра Васильевича Шаповалова "От хижин к дворцам", которая подробно описывает как сделать рассуждение от фундамента до здания любой высоты.
Про более простые методы доказательства, такие как прямое доказательство, от противного и контрпример, вы можете узнать в нашем телеграм-канале.
#квадраты #математическая задача #олимпиадная задача #логика #математика для детей #математика #задача на логику #логическая задача #математическийкружок #математическиеолимпиады