Всем привет
Сегодня вас ждет большое пособие с разбором задач по тригонометрии с ДВИ МГУ разных годов, начиная с 1970-го года
ВМК
Наш марафон открывает ВМК 1970-го года в лице задачи:
Мы сразу видим, что перед нами обычное квадратное уравнение, относительно квадрата косинуса. Т.е. сразу же ищем дискриминант и получаем
Квадрат извлекается очень удачно и мы сразу же можем приступить к отысканию корней уравнения и замечаем, что один из них нам не подходит (можете проверить это лично). Сразу заметим, что квадрат косинуса принимает значения в пределах от 0 до 1 и исходя из этого можем сделать вывод о пределах, в которых может изменяться "а":
Отсюда мы с легкостью получаем через обратную функцию значения самого "х":
В силу того, что мы извлекаем корень у нас получается шаг не через цельную окружность, а через ее половину т.е. прибавка πk
И цельное решение коротко и одним скрином)
ФизФак
Далее на очереди выступает ФФ со своим массивным, но достаточно легким заданием:
Т.к. в справа находятся сплошные синусы, то в левой части так же перейдем к синусам через основное тригонометрическое и перекидываем все в одну часть:
Сразу же получаем квадрат разности и с удовольствием записываем его. Далее группировкой получаем общий множитель и, фактически, готовое решение уравнения:
Одна из скобок не имеет решение в силу того, что максимальные значения синуса единица
В итоге задача получается немногим сложнее 12-ой задачи ЕГЭ
А вот цельное решение одним скрином:
Далее идет Хим фак
и встречает нас неравенством:
На первый взгляд кажется чем-то нестандартным, но на самом деле все достаточно просто. Для начала выносим степень в основании и заносим степень в аргумент, чтобы получить сравнение двух логарифмов с одинаковыми основаниями
Далее мы в легкую избавляемся от логарифмов, но т.к. основание меньше единицы, то неравенство примет немного иной вид:
И так же ставим ограничение на синус т.к. аргумент логарифма не может принимать отрицательные значения. Так же у нас будет только один оборот по окружности т.к. прибавка идет 2πk, а это 6 с копейкой
И цельное решение выглядит так:
Геологический факультет
Перед нами классическая задача на сумму синусов, которая решается в пару действий
Тут мы сразу же получаем произведение и находим нули функций и отображаем их на окружности
Зеленые точки - решения для синуса, красные для косинуса. Т.к. по условию угол находится в пределах одной окружности, то мы никак не докидываем следующие обороты. Далее пускаем змейку и находим где и как у нас менялся знак:
На этом все, с одной стороны простая, но с другой достаточно интересная задача. Идем дальше
Биолого-почвенный факультет
Сразу же заметим, что у нас очень красиво формируется формула произведения синусов и именно поэтому мы воспользуемся данной оплошностью:
Далее раскрываем скобки перед косинусом и косинус двойного угла сокращается:
Далее мы можем раскрыть косинус 4-го угла и перевести синус в косинус и тогда мы получим квадратное уравнение относительно косинуса двойного угла, а далее через дискриминант получаем единственный возможный корень:
Вот и все)
Экономический факультет
Выглядит достаточно устрашающе, но не более того. Сразу же заметим, что можно сделать замену угла на более приятный запись и далее расписать тригонометрические функции, модуль пока оставим в покое:
Далее замечаем, что у нас записан квадрат косинуса через тангенс в виде:
Тогда мы сразу же можем сократить синус двойного угла и тогда останется лишь синус и модуль:
Теперь вернемся к обозначению через "х" т.к. это поможет рассмотреть наше решение дальше
В итоге мы получаем единственное решение, которое следует после недолгих наблюдений за получившимся уравнением. И давайте сразу ответим на вопрос, а почему оно единственное?
Если мы будем рассматривать только данное уравнение, то у нас несомненно есть второе решение, находящееся из условия, что синус равен единице, но тут мы имеем ограничение с начала задачи, где были тангенсы т.е. данная точка исключается. Далее у нас остается лишь единственное пересечение графиков этих функций и, следовательно, мы получаем наше единственное решение
На этом сегодня все, мы разобрали задачи с ДВИ на множество факультетов за 70-ый год и далее продолжим разбор
До скорых встреч)