Я опубликовал статью о том, что дети в школе не все арифметические действия воспринимают как действия. И тут же её закидали комментариями, вроде как и не зачем, ведь действий всего 4, а остальные - не действия вовсе. Вот, например:
Арифметические действия -это сложение, вычитание, деление и умножение. Возведение в степень и извлечение корня относятся к действиям элементарной алгебры, а логарифмирование и интегрирование к матанализу.
И мне-то понятно, почему автор комментария именно такое разграничение вводит: в школе 4 сложение, вычитание и умножение с делением проходят в начальной школе (поэтому "арифметика"), степень и корень - в курсе средней школы (поэтому "алгебра"), а логарифм и интеграл - в старшей школе (поэтому "матанализ"). При чём логарифм и интеграл в комментарии поставлены в одном ряду, как будто это вещи одного порядка (что, разумеется, не так). И я даже не удивлён, что здесь пропущено дифференцирование.
Давайте немного разберёмся с тем, что же за действия в арифметике.
Действий действительно используется всего 7. Чтобы объяснить взаимосвязь между ними, и показать, что все они важны, я занесу их в таблицу:
Таблица очень удобная, в ней видно всё, что нужно. Итак.
Действия делятся на ступени - I, II и III.
Действия первой ступени (сложение и вычитание) определяются на натуральных предметах.
Действия второй ступени - это многократное повторение действий первой ступени: умножение - суть многократное сложение, а деление - многократное вычитание.
Действия третьей ступени - это многократное повторение действий второй ступени: степень - суть многократное умножение, а корень и логарифм - многократное деление. Вот этого момента очень многие не знают, однако даже в школе проходят метод извлечения корня, очень похожий на метод деления уголком с той лишь разницей, что тут надо не только вычитать много раз, а ещё и довольно хитрым образом делить (подбирать множители).
В принципе, никто не мешает нам определить действия высших (четвёртой, пятой...) ступеней. Многократное возведение в одну и ту же степень, например. Правда, практической пользы эти действия пока иметь не будут. В то же время, и "отсечение" действий 3 ступени недопустимо. Точно с таким же успехом можно сказать, что сложение и вычитание - действия арифметические, а умножение и деление - действия какой-нибудь "высшей арифметики".
Вычитание, деление, корень и логарифм - это обратные действия. Они нужны для того, чтобы "находить" неизвестные компоненты соответствующих прямых действий без явного подбора. Разумеется, чаще всего эти действия и выполняются с помощью подбора.
При этом, так как сложение и умножение - коммутативны, для обоих компонентов действий требуется одинаковое обратное действие. А вот степень - некоммутативна, поэтому для нахождения основания нужно одно действие, а для нахождения показателя - другое.
Надо отметить, что исторически эти действия появлялись именно в той очерёдности, в которой они проходятся в школе (совпадение?). Например, к появлению действия корень привело исследование Франсуа Виета квадратных и кубических уравнений. С тех пор у нас осталось название "корень" и эта горизонтальная черта над подкоренным выражением (которая во времена Виета заменяла собой скобки)
Интеграл, синус и сравнение, которые часто называют действиями (из-за того, что что-то приходится делать) - не действия. Потому что они не вписываются в эту таблицу.