В задании 16 включены задачи на тему "Окружность"
Тема очень широкая и в ней можно выделить основные блоки:
1) Центральный и вписанный угол;
2) Касательная , секущая, хорда
3) Вписанные/описанные треугольники и четырехугольники
В этот раз речь пойдет об углах в окружности.
Немного теории
Итак,
1) Центральный угол - угол, вершина которого лежит в центре окружности (сразу понятно почему так называется)
Дуга измеряется градусной мерой центрального угла, опирающегося на эту дугу.
Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности.
Вписанный угол измеряется ПОЛОВИНОЙ дуги, на которую он опирается.
ЗНАЧИТ! Центральный угол всегда в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. ИЛИ вписанный угол в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
💆♀️если разберетесь с этим, то задачи будут решаться элементарно
2) Если вписанный угол опирается на диаметр (полуокружность), то он равен 90 градусов (центральный угол в этом случае 180 градусов, а вписанный равен половине центрального).
Получается, если вокруг прямоугольного треугольника описана окружность, то ее диаметр равен гипотенузе. А центр окружности лежит ровно посередине гипотенузы.
Если центр окружности лежит на стороне описанного треугольника, то этот треугольник прямоугольный.
Вот пожалуй и все, что понадобиться нам при решении основных задач, связанных с углами в окружности.
№1
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 20,5. Найдите BC, если AC = 9
Из формулировки понимаем, что треугольник АВС прямоугольный и АВ - гипотенуза равная диаметру или двум радиусам.
Зная гипотенузу и катет, находим второй катет по теореме Пифагора (смотри все задания 15):
№2
В треугольнике ABC известно, что AC = 7, BC = 24, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
Обратная задача. Теперь, зная два катета, можно найти гипотенузу. А гипотенуза составляет ровно два радиуса.
№3
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 36°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
Дуга ANB, равная 180 градусов, состоит из двух дуг: AN и NB. Дуга AN в два раза больше вписанного угла ABN. Зная это легко находим градусную меру дуги NB. Искомый угол в два раза меньше дуги NB (как вписанный).
№4
Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = BC и ∠ABC = 125°. Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.
"Красная" дуга АС в два раза больше вписанного угла АВС. Значит ее величина равна 250 градусов. Дуга АВС равна (360-250) градусов. Точка В делит дугу АВС пополам. Тогда, центральный угол, опирающийся на дугу ВС, равен 55 градусов
№5
Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром в точке O. Угол ACB равен 16°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
Продолжение следует...