Вывод уравнения адиабаты без интегралов

Алгебраические преобразования с дельтами, финты ушами - запихиваем уравнение адиабаты в рамки школьной программы.

Здравствуйте, уважаемые читатели! Адиабатный процесс считается самым сложным среди всех изопроцессов над идеальными газами, которые проходят в школе. В учебнике нет вывода уравнения этого процесса. Можно, конечно, просто сказать "выучите уравнение адиабаты", но мне это как-то неинтересно. В университетском курсе это уравнение легко выводится через интегралы, из первого закона термодинамики, но как быть школьникам 10 класса, которые интегралов ещё не проходили?

В этой статье выведу уравнение адиабаты путём алгебраических преобразований, без применения интегралов. Вывод непростой, но может быть понятен старшеклассникам, изучающим физику углублённо, студентам, учителям.

Напомню, адиабатный процесс - это процесс без теплообмена с окружающей средой. На рисунке - графики процесса и соответствующие уравнения в разных координатах. Школьники должны запомнить, что адиабата в координатах pV идет круче изотермы.

Графики адиабатического процесса (сплошная красная линия) в координатах pV, pT и VT. Для сравнения в этих же координатах штриховой линией даны изотермы. Гамма - показатель адиабаты.

Итак, приступим к выводу уравнения адиабатного процесса в координатах pV. Начнем с первого закона термодинамики, определения работы идеального газа и изменения внутренней энергии.

Первый закон термодинамики и его применение к адиабатическому процессу. i - число степеней свободы молекул идеального газа.

Будем рассматривать очень малые изменения объема ΔV, при которых давление можно примерно считать постоянным, при этом мы можем записать стандартную формулу для работы газа.

Распишем приращение Δ(pV). Здесь мы воспользуемся малостью дельт-приращений - пренебрежем произведением ΔVΔp.

Приращение произведения. Тот, кто хорошо знаком с производными, узнает тут намек на производную произведения.

Подставим эту запись, а также выражение для работы, в первый закон термодинамики.

Первый закон термодинамики для малых приращений в адиабатном процессе

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые, сделаем алгебраические преобразования:

Алгебраические преобразования с дельтами. Видите, вылезает показатель адиабаты γ.

Теперь будет немного шаманства и финтов ушами. Поскольку интегралов мы брать не можем, будем работать с этими дельтами. Мы хотим получить эти приращения как разность некоторых функций давления и объёма.

Промежуточные преобразования.

Промежуточные вычисления. Вспомним формулу бинома Ньютона и воспользуемся малостью ΔV - пренебрежем всеми степенями ΔV, кроме первой.

Преобразования, позволяющие прийти к разности двух состояний.

Цель этого преобразования - выписать второе слагаемое из формулы (*) через разность двух состояний. Как видите, это получилось. Подставим (2) в (*)

Теперь будем шаманить с первым слагаемым. Воспользуемся формулой (1), а затем пренебрежем слагаемым, содержащим ΔpΔV

Выразили первое слагаемое в более подходящем виде.

Теперь подставляем первое слагаемое в формулу (3). Это позволит нам объединить первые два слагаемых и представить нашу формулу (3) как разность значений одной и той же функции при малом приращении переменных:

Выразили нулевое приращение функции

Так как при изменении объема и давления приращение функции равно нуля, то значит, сама эта функция не меняется:

Уфф, получилось!

Это и есть искомое уравнение адиабаты. Как видите, всё сошлось!

Ход решения может казаться искусственным, так и есть. Я действительно подгоняла под известный ответ. С интегралом, конечно, этот вывод проще и естественней, но в таком виде это хорошо как алгебраическое упражнение для продвинутых старшеклассников.

Спасибо, что дочитали до конца! Надеюсь, эта статья будет кому-нибудь полезна. А если не полезна, то хотя бы любопытна.